Calcula \(\;\;\;\min z\;\;\;\) de \(\;\;\;|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\)

[Buscón]

Dados los números complejos    [texx]\alpha[/texx]    y    [texx]\beta[/texx],    calcula el mínimo valor para

[texx]z\in{\mathbb{C}}[/texx]    de la cantidad    [texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2[/texx].


Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.

[Buscón]

Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.


Saludos y gracias por adelantado.

[Ignacio Larrosa]

Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.


Saludos y gracias por adelantado.

Considera el paralelogramo de vértices [texx]\alpha, z_1, \beta\textrm{ y }z_2[/texx]. Aplicale la igualdad del paralelogramo, que acabas de ver. Y después haz tender [texx]z_1 \rightarrow{} z_2[/texx] manteniendo la condición de paralelogramo. Es decir, haz [texx]z_1 = z_2 = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx].

Saludos,

[delmar]

Hola Buscón

Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.


Saludos y gracias por adelantado.

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

Saludos

Nota : Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, incluso de una forma geométrica; pero se esta en la materia de los complejos

[Ignacio Larrosa]

Nota : Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, incluso de una forma geométrica; pero se esta en la materia de los complejos

Pero se sugiere explícitamente el uso de la igualdad del paralelogramo.

Saludos,

[Buscón]

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,


¿Se trata entonces de encontrar el valor de    [texx]z[/texx]    que verifica la ecuación:

[texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=0[/texx]?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,

No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx]

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,


¿Se trata entonces de encontrar el valor de    [texx]z[/texx]    que verifica la ecuación:

[texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=0[/texx]?

A ver si ahora lo expreso más claramente. Considera un número complejo z cualquiera y su simétrico z' respecto al punto medio de [texx]\alpha\textrm{ y }\beta[/texx]. La igualdad del paralelogramo te dice que, teniendo en cuenta que [texx]\left |{z - \alpha}\right | = \left |{z' - \beta}\right |\textrm{ y que }\left |{z - \beta}\right | = \left |{z' - \alpha}\right |[/texx],

[texx]2\left(  \left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2 \right) = \left |{\alpha - \beta}\right |^2 + \left |{z - z'}\right |^2[/texx]

Cuando varía [texx]z\textrm{ permaneciendo fijos }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx], el primer sumando del segundo miembro es constante, mientras que el segundo es mayor igual que cero, anulándose solo si [texx]z = z'[/texx]. Esto ocurre cuando [texx]z = z' = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Solo tienes entonces que igualar z = z' en la igualdad del paralelogramo y dividir por dos.

Saludos,

[Buscón]

Hola

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,

No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx]

Saludos.

La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. 

¿Va por ahí la intención del ejercicio?

Bueno, esto suponiendo que    [texx]arg(z)\in{\Big]\min\big(\arg(\alpha),\arg(\beta)\big)\Big[}[/texx]     pero me temo que no es el caso.

Un saludo.

[robinlambada]

Hola.

Hola

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,

No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx]

Saludos.

La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. 

¿Va por ahí la intención del ejercicio?

Bueno, esto suponiendo que    [texx]arg(z)\in{\min\left\{arg(\alpha),\arg(\beta)\right\}}[/texx]     pero no es el caso.

Un saludo.

No, solo tienes que seguir paso a paso las indicaciones de ilarrosa, para ello es muy importante que dibujes el paralelogramo de vértices (en este orden) [texx]z,\alpha ,z', \beta[/texx], Fijate que las diagonales son [texx]|\alpha - \beta|[/texx] y [texx]|z+z'|[/texx] , si aplicas la igualdad del paralelogramo y sigues las indicaciones del último mensaje de ilarrosa, obtienes la solución llevando a que se unan z y z', llegamos a que z=z' como el punto medio de [texx]\alpha \,\, y \,\, \beta[/texx], teniendo en cuenta que debes mantener en todo momento un paralelogramo.

Saludos.

[Buscón]

¿Esto?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Esto?

No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.

Saludos.

[Buscón]

No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.

¿Esto entonces?

[robinlambada]

Si correcto.
Ahora utiliza:

A ver si ahora lo expreso más claramente. Considera un número complejo z cualquiera y su simétrico z' respecto al punto medio de [texx]\alpha\textrm{ y }\beta[/texx]. La igualdad del paralelogramo te dice que, teniendo en cuenta que [texx]\left |{z - \alpha}\right | = \left |{z' - \beta}\right |\textrm{ y que }\left |{z - \beta}\right | = \left |{z' - \alpha}\right |[/texx],

[texx]2\left(  \left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2 \right) = \left |{\alpha - \beta}\right |^2 + \left |{z - z'}\right |^2[/texx]

Cuando varía [texx]z\textrm{ permaneciendo fijos }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx], el primer sumando del segundo miembro es constante, mientras que el segundo es mayor igual que cero, anulándose solo si [texx]z = z'[/texx]. Esto ocurre cuando [texx]z = z' = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Solo tienes entonces que igualar z = z' en la igualdad del paralelogramo y dividir por dos.

Saludos,

[Ignacio Larrosa]

No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.

¿Esto entonces?
 

Mejor algo así:



Desplaza [texx]z\textrm{ manteniendo }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx] fijos, y observa como varían las cantidades para corroborar lo que ya se aprecia claramente en la fórmula: que cuando [texx]z = z' \left(= \dfrac{\alpha +\beta}{2}\right),\textrm{ la suma }\left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2[/texx] es mínima.

Saludos,

[Buscón]

Desplaza [texx]z\textrm{ manteniendo }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx] fijos, y observa como varían las cantidades para corroborar lo que ya se aprecia claramente en la fórmula: que cuando [texx]z = z' \left(= \dfrac{\alpha +\beta}{2}\right),\textrm{ la suma }\left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2[/texx] es mínima.

Si, ahora si lo veo.

El teorema del paralelogramo no es otra cosa que "la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es el doble que la suma del cuadrado de sus lados."

Si llamamos    [texx]D,d[/texx]    a las diagonales y    [texx]L,l[/texx]    a los lados desiguales, la igualdad será

[texx]D^2+d^2=2(L^2+l^2)[/texx],

que expresado en términos de los complejos    [texx]z,w[/texx]    es

[texx]\underbrace{|z+w|^2}_{D^2}+\underbrace{|z-w|^2}_{d^2}=2(\underbrace{|z|^2}_{L^2}+\underbrace{|w|^2}_{l^2})[/texx],

y expresado en términos de los complejos del gráfico que has puesto es

[texx]\underbrace{|\alpha-\beta|^2}_{D^2}+\underbrace{|z-z'|^2}_{d^2}=2(\underbrace{|z-\alpha|^2}_{L^2}+\underbrace{|z-\beta|^2}_{l^2})[/texx].

Como    [texx]D^2[/texx]    es constante, el valor mínimo pedido es cuando    [texx]z[/texx]    y    [texx]z'[/texx]    coinciden, esto es,    cuando

[texx]d=|z-z'|=0[/texx].


La igualdad del paralelogramo se parece un poco al desarrollo del cuadrado de una diferencia

[texx]D^2+d^2-2(D^2+d^2)\sim{D^2+d^2-2Dd}=(D-d)^2[/texx].

Saludos y muchas gracias por la paciencia.

[Ignacio Larrosa]

La igualdad del paralelogramo se parece un poco al desarrollo del cuadrado de una diferencia

[texx]D^2+d^2-2(D^2+d^2)\sim{D^2+d^2-2Dd}=(D-d)^2[/texx].

Ojo, que ahí has puesto solo las diagonales [texx]D\textrm{ y }d[/texx], yu han desparecido los lados [texx]L\textrm{ y }l[/texx].

Saludos y muchas gracias por la paciencia.

Nada, saludos,