Buscón
|
 |
« : 16/07/2017, 08:20:34 pm » |
|
Dados los números complejos [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], calcula el mínimo valor para
[texx]z\in{\mathbb{C}}[/texx] de la cantidad [texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2[/texx].
Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Buscón
|
 |
« Respuesta #1 : 16/07/2017, 08:23:09 pm » |
|
Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.
Saludos y gracias por adelantado.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.242
|
 |
« Respuesta #2 : 16/07/2017, 09:13:06 pm » |
|
Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.
Saludos y gracias por adelantado.
Considera el paralelogramo de vértices [texx]\alpha, z_1, \beta\textrm{ y }z_2[/texx]. Aplicale la igualdad del paralelogramo, que acabas de ver. Y después haz tender [texx]z_1 \rightarrow{} z_2[/texx] manteniendo la condición de paralelogramo. Es decir, haz [texx]z_1 = z_2 = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Saludos,
|
|
|
En línea
|
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes) O incluso por muchísimo menos ... (yo)
|
|
|
delmar
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 Perú
Mensajes: 1.548
|
 |
« Respuesta #3 : 16/07/2017, 10:02:30 pm » |
|
Hola BuscónAquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.
Saludos y gracias por adelantado.
Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria. Saludos Nota : Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, incluso de una forma geométrica; pero se esta en la materia de los complejos
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.242
|
 |
« Respuesta #4 : 17/07/2017, 03:46:43 am » |
|
Nota : Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, incluso de una forma geométrica; pero se esta en la materia de los complejos
Pero se sugiere explícitamente el uso de la igualdad del paralelogramo. Saludos,
|
|
|
En línea
|
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes) O incluso por muchísimo menos ... (yo)
|
|
|
Buscón
|
 |
« Respuesta #5 : 17/07/2017, 06:22:17 am » |
|
Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.
como [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx] por ser una distancia, ¿Se trata entonces de encontrar el valor de [texx]z[/texx] que verifica la ecuación: [texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=0[/texx]? Saludos.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
   
Karma: +0/-0
Conectado
Sexo:
 España
Mensajes: 43.724
|
 |
« Respuesta #6 : 17/07/2017, 06:32:31 am » |
|
Hola Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.
como [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx] por ser una distancia, No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx] Saludos.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.242
|
 |
« Respuesta #7 : 17/07/2017, 09:14:46 am » |
|
Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.
como [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx] por ser una distancia, ¿Se trata entonces de encontrar el valor de [texx]z[/texx] que verifica la ecuación: [texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=0[/texx]? A ver si ahora lo expreso más claramente. Considera un número complejo z cualquiera y su simétrico z' respecto al punto medio de [texx]\alpha\textrm{ y }\beta[/texx]. La igualdad del paralelogramo te dice que, teniendo en cuenta que [texx]\left |{z - \alpha}\right | = \left |{z' - \beta}\right |\textrm{ y que }\left |{z - \beta}\right | = \left |{z' - \alpha}\right |[/texx], [texx]2\left( \left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2 \right) = \left |{\alpha - \beta}\right |^2 + \left |{z - z'}\right |^2[/texx] Cuando varía [texx]z\textrm{ permaneciendo fijos }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx], el primer sumando del segundo miembro es constante, mientras que el segundo es mayor igual que cero, anulándose solo si [texx]z = z'[/texx]. Esto ocurre cuando [texx]z = z' = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Solo tienes entonces que igualar z = z' en la igualdad del paralelogramo y dividir por dos. Saludos,
|
|
|
En línea
|
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes) O incluso por muchísimo menos ... (yo)
|
|
|
Buscón
|
 |
« Respuesta #8 : 17/07/2017, 07:55:21 pm » |
|
Hola Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.
como [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx] por ser una distancia, No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx] Saludos. La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. ¿Va por ahí la intención del ejercicio? Bueno, esto suponiendo que [texx]arg(z)\in{\Big]\min\big(\arg(\alpha),\arg(\beta)\big)\Big[}[/texx] pero me temo que no es el caso. Un saludo.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.930
|
 |
« Respuesta #9 : 17/07/2017, 08:08:02 pm » |
|
Hola. Hola Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.
como [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx] por ser una distancia, No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx] Saludos. La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. ¿Va por ahí la intención del ejercicio? Bueno, esto suponiendo que [texx]arg(z)\in{\min\left\{arg(\alpha),\arg(\beta)\right\}}[/texx] pero no es el caso. Un saludo. No, solo tienes que seguir paso a paso las indicaciones de ilarrosa, para ello es muy importante que dibujes el paralelogramo de vértices (en este orden) [texx]z,\alpha ,z', \beta[/texx], Fijate que las diagonales son [texx]|\alpha - \beta|[/texx] y [texx]|z+z'|[/texx] , si aplicas la igualdad del paralelogramo y sigues las indicaciones del último mensaje de ilarrosa, obtienes la solución llevando a que se unan z y z', llegamos a que z=z' como el punto medio de [texx]\alpha \,\, y \,\, \beta[/texx], teniendo en cuenta que debes mantener en todo momento un paralelogramo. Saludos.
|
|
|
En línea
|
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.
La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
|
|
|
Buscón
|
 |
« Respuesta #10 : 17/07/2017, 08:38:46 pm » |
|
¿Esto?
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
   
Karma: +0/-0
Conectado
Sexo:
 España
Mensajes: 43.724
|
 |
« Respuesta #11 : 18/07/2017, 04:02:42 am » |
|
Hola ¿Esto?
No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.Saludos.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Buscón
|
 |
« Respuesta #12 : 18/07/2017, 04:48:35 am » |
|
No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.
¿Esto entonces?
|
|
|
En línea
|
|
|
|
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.930
|
 |
« Respuesta #13 : 18/07/2017, 05:27:52 am » |
|
Si correcto. Ahora utiliza: A ver si ahora lo expreso más claramente. Considera un número complejo z cualquiera y su simétrico z' respecto al punto medio de [texx]\alpha\textrm{ y }\beta[/texx]. La igualdad del paralelogramo te dice que, teniendo en cuenta que [texx]\left |{z - \alpha}\right | = \left |{z' - \beta}\right |\textrm{ y que }\left |{z - \beta}\right | = \left |{z' - \alpha}\right |[/texx],
[texx]2\left( \left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2 \right) = \left |{\alpha - \beta}\right |^2 + \left |{z - z'}\right |^2[/texx]
Cuando varía [texx]z\textrm{ permaneciendo fijos }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx], el primer sumando del segundo miembro es constante, mientras que el segundo es mayor igual que cero, anulándose solo si [texx]z = z'[/texx]. Esto ocurre cuando [texx]z = z' = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Solo tienes entonces que igualar z = z' en la igualdad del paralelogramo y dividir por dos.
Saludos,
|
|
|
En línea
|
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.
La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
|
|
|
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.242
|
 |
« Respuesta #14 : 18/07/2017, 05:42:24 am » |
|
No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.
¿Esto entonces? Mejor algo así: Desplaza [texx]z\textrm{ manteniendo }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx] fijos, y observa como varían las cantidades para corroborar lo que ya se aprecia claramente en la fórmula: que cuando [texx]z = z' \left(= \dfrac{\alpha +\beta}{2}\right),\textrm{ la suma }\left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2[/texx] es mínima. Saludos,
|
|
|
En línea
|
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes) O incluso por muchísimo menos ... (yo)
|
|
|
Buscón
|
 |
« Respuesta #15 : 18/07/2017, 12:37:33 pm » |
|
Desplaza [texx]z\textrm{ manteniendo }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx] fijos, y observa como varían las cantidades para corroborar lo que ya se aprecia claramente en la fórmula: que cuando [texx]z = z' \left(= \dfrac{\alpha +\beta}{2}\right),\textrm{ la suma }\left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2[/texx] es mínima.
Si, ahora si lo veo. El teorema del paralelogramo no es otra cosa que "la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es el doble que la suma del cuadrado de sus lados." Si llamamos [texx]D,d[/texx] a las diagonales y [texx]L,l[/texx] a los lados desiguales, la igualdad será [texx]D^2+d^2=2(L^2+l^2)[/texx], que expresado en términos de los complejos [texx]z,w[/texx] es [texx]\underbrace{|z+w|^2}_{D^2}+\underbrace{|z-w|^2}_{d^2}=2(\underbrace{|z|^2}_{L^2}+\underbrace{|w|^2}_{l^2})[/texx], y expresado en términos de los complejos del gráfico que has puesto es [texx]\underbrace{|\alpha-\beta|^2}_{D^2}+\underbrace{|z-z'|^2}_{d^2}=2(\underbrace{|z-\alpha|^2}_{L^2}+\underbrace{|z-\beta|^2}_{l^2})[/texx]. Como [texx]D^2[/texx] es constante, el valor mínimo pedido es cuando [texx]z[/texx] y [texx]z'[/texx] coinciden, esto es, cuando [texx]d=|z-z'|=0[/texx]. La igualdad del paralelogramo se parece un poco al desarrollo del cuadrado de una diferencia [texx]D^2+d^2-2(D^2+d^2)\sim{D^2+d^2-2Dd}=(D-d)^2[/texx]. Saludos y muchas gracias por la paciencia.
|
|
|
En línea
|
|
|
|
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
Karma: +0/-0
Desconectado
Sexo:
 España
Mensajes: 2.242
|
 |
« Respuesta #16 : 18/07/2017, 01:43:57 pm » |
|
La igualdad del paralelogramo se parece un poco al desarrollo del cuadrado de una diferencia
[texx]D^2+d^2-2(D^2+d^2)\sim{D^2+d^2-2Dd}=(D-d)^2[/texx].
Ojo, que ahí has puesto solo las diagonales [texx]D\textrm{ y }d[/texx], yu han desparecido los lados [texx]L\textrm{ y }l[/texx]. Saludos y muchas gracias por la paciencia.
Nada, saludos,
|
|
|
En línea
|
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes) O incluso por muchísimo menos ... (yo)
|
|
|
|