Foros de matemática
26/09/2017, 12:49:37 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Calcula \(\;\;\;\min z\;\;\;\) de \(\;\;\;|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\)  (Leído 396 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« : 16/07/2017, 08:20:34 pm »



Dados los números complejos    [texx]\alpha[/texx]    y    [texx]\beta[/texx],    calcula el mínimo valor para

[texx]z\in{\mathbb{C}}[/texx]    de la cantidad    [texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2[/texx].




Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 16/07/2017, 08:23:09 pm »

Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.


Saludos y gracias por adelantado.
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.282


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 16/07/2017, 09:13:06 pm »

Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.


Saludos y gracias por adelantado.

Considera el paralelogramo de vértices [texx]\alpha, z_1, \beta\textrm{ y }z_2[/texx]. Aplicale la igualdad del paralelogramo, que acabas de ver. Y después haz tender [texx]z_1 \rightarrow{} z_2[/texx] manteniendo la condición de paralelogramo. Es decir, haz [texx]z_1 = z_2 = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx].

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
delmar
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 999


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 16/07/2017, 10:02:30 pm »

Hola Buscón

Aquí no tengo ni idea tan siquiera de que es lo que nos piden.


Saludos y gracias por adelantado.

Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.

Saludos

Nota : Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, incluso de una forma geométrica; pero se esta en la materia de los complejos
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.282


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 17/07/2017, 03:46:43 am »

Nota : Este problema puede ser resuelto de diversas maneras, incluso de una forma geométrica; pero se esta en la materia de los complejos

Pero se sugiere explícitamente el uso de la igualdad del paralelogramo.

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 17/07/2017, 06:22:17 am »


Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.



como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,


¿Se trata entonces de encontrar el valor de    [texx]z[/texx]    que verifica la ecuación:


[texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=0[/texx]?


Saludos.


En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.602


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 17/07/2017, 06:32:31 am »

Hola


Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.



como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,

No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx]

Saludos.
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.282


Ver Perfil WWW
« Respuesta #7 : 17/07/2017, 09:14:46 am »


Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.



como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,


¿Se trata entonces de encontrar el valor de    [texx]z[/texx]    que verifica la ecuación:


[texx]|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=0[/texx]?


A ver si ahora lo expreso más claramente. Considera un número complejo z cualquiera y su simétrico z' respecto al punto medio de [texx]\alpha\textrm{ y }\beta[/texx]. La igualdad del paralelogramo te dice que, teniendo en cuenta que [texx]\left |{z - \alpha}\right | = \left |{z' - \beta}\right |\textrm{ y que }\left |{z - \beta}\right | = \left |{z' - \alpha}\right |[/texx],

[texx]2\left(  \left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2 \right) = \left |{\alpha - \beta}\right |^2 + \left |{z - z'}\right |^2[/texx]

Cuando varía [texx]z\textrm{ permaneciendo fijos }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx], el primer sumando del segundo miembro es constante, mientras que el segundo es mayor igual que cero, anulándose solo si [texx]z = z'[/texx]. Esto ocurre cuando [texx]z = z' = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Solo tienes entonces que igualar z = z' en la igualdad del paralelogramo y dividir por dos.

Saludos,

En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 17/07/2017, 07:55:21 pm »

Hola


Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.



como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,

No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx]

Saludos.

La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. 

¿Va por ahí la intención del ejercicio?

Bueno, esto suponiendo que    [texx]arg(z)\in{\Big]\min\big(\arg(\alpha),\arg(\beta)\big)\Big[}[/texx]     pero me temo que no es el caso.

Un saludo.
En línea
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.437


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 17/07/2017, 08:08:02 pm »

Hola.
Hola


Lo que piden es el número complejo z, tal que la función [texx]\left |{z-\alpha}\right |^2+\left |{z-\beta}\right |^2[/texx] es mínima. Denominando f a esta función observa que es una función real de dos variables, es decir la podemos denotar f(x,y) donde x es la parte real de z e y la parte imaginaria.



como    [texx]\min\left\{|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2\right\}=0[/texx]    por ser una distancia,

No es una distancia. Es la suma del cuadrado de distancias de un punto [texx]z[/texx] a dos puntos fijos [texx]\alpha,\beta.[/texx] Ese mínimo sólo sería cero si [texx]\alpha=\beta.[/texx]

Saludos.

La mínima distancia entre dos puntos es la línea recta. 

¿Va por ahí la intención del ejercicio?

Bueno, esto suponiendo que    [texx]arg(z)\in{\min\left\{arg(\alpha),\arg(\beta)\right\}}[/texx]     pero no es el caso.

Un saludo.

No, solo tienes que seguir paso a paso las indicaciones de ilarrosa, para ello es muy importante que dibujes el paralelogramo de vértices (en este orden) [texx]z,\alpha ,z', \beta[/texx], Fijate que las diagonales son [texx]|\alpha - \beta|[/texx] y [texx]|z+z'|[/texx] , si aplicas la igualdad del paralelogramo y sigues las indicaciones del último mensaje de ilarrosa, obtienes la solución llevando a que se unan z y z', llegamos a que z=z' como el punto medio de [texx]\alpha \,\, y \,\, \beta[/texx], teniendo en cuenta que debes mantener en todo momento un paralelogramo.

Saludos.
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 17/07/2017, 08:38:46 pm »

¿Esto?



* igualdad_paralelogramo.ggb (10.25 KB - descargado 32 veces.)
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.602


Ver Perfil
« Respuesta #11 : 18/07/2017, 04:02:42 am »

Hola

¿Esto?



No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.

Saludos.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 18/07/2017, 04:48:35 am »


No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.


¿Esto entonces?



* igualdad_paralelogramo2.ggb (10.52 KB - descargado 19 veces.)
En línea
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.437


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 18/07/2017, 05:27:52 am »

Si correcto.
Ahora utiliza:
A ver si ahora lo expreso más claramente. Considera un número complejo z cualquiera y su simétrico z' respecto al punto medio de [texx]\alpha\textrm{ y }\beta[/texx]. La igualdad del paralelogramo te dice que, teniendo en cuenta que [texx]\left |{z - \alpha}\right | = \left |{z' - \beta}\right |\textrm{ y que }\left |{z - \beta}\right | = \left |{z' - \alpha}\right |[/texx],

[texx]2\left(  \left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2 \right) = \left |{\alpha - \beta}\right |^2 + \left |{z - z'}\right |^2[/texx]

Cuando varía [texx]z\textrm{ permaneciendo fijos }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx], el primer sumando del segundo miembro es constante, mientras que el segundo es mayor igual que cero, anulándose solo si [texx]z = z'[/texx]. Esto ocurre cuando [texx]z = z' = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}[/texx]. Solo tienes entonces que igualar z = z' en la igualdad del paralelogramo y dividir por dos.

Saludos,


En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.282


Ver Perfil WWW
« Respuesta #14 : 18/07/2017, 05:42:24 am »


No. [texx]z'[/texx] es el simétrico de [texx]z[/texx] respecto del punto medio de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], no respecto del origen.


¿Esto entonces?
 

Mejor algo así:



Desplaza [texx]z\textrm{ manteniendo }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx] fijos, y observa como varían las cantidades para corroborar lo que ya se aprecia claramente en la fórmula: que cuando [texx]z = z' \left(= \dfrac{\alpha +\beta}{2}\right),\textrm{ la suma }\left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2[/texx] es mínima.

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.169


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 18/07/2017, 12:37:33 pm »

Desplaza [texx]z\textrm{ manteniendo }\alpha\textrm{ y }\beta[/texx] fijos, y observa como varían las cantidades para corroborar lo que ya se aprecia claramente en la fórmula: que cuando [texx]z = z' \left(= \dfrac{\alpha +\beta}{2}\right),\textrm{ la suma }\left |{z - \alpha}\right |^2 + \left |{z - \beta}\right |^2[/texx] es mínima.


Si, ahora si lo veo.

El teorema del paralelogramo no es otra cosa que "la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es el doble que la suma del cuadrado de sus lados."

Si llamamos    [texx]D,d[/texx]    a las diagonales y    [texx]L,l[/texx]    a los lados desiguales, la igualdad será


[texx]D^2+d^2=2(L^2+l^2)[/texx],


que expresado en términos de los complejos    [texx]z,w[/texx]    es


[texx]\underbrace{|z+w|^2}_{D^2}+\underbrace{|z-w|^2}_{d^2}=2(\underbrace{|z|^2}_{L^2}+\underbrace{|w|^2}_{l^2})[/texx],


y expresado en términos de los complejos del gráfico que has puesto es


[texx]\underbrace{|\alpha-\beta|^2}_{D^2}+\underbrace{|z-z'|^2}_{d^2}=2(\underbrace{|z-\alpha|^2}_{L^2}+\underbrace{|z-\beta|^2}_{l^2})[/texx].


Como    [texx]D^2[/texx]    es constante, el valor mínimo pedido es cuando    [texx]z[/texx]    y    [texx]z'[/texx]    coinciden, esto es,    cuando

[texx]d=|z-z'|=0[/texx].


La igualdad del paralelogramo se parece un poco al desarrollo del cuadrado de una diferencia


[texx]D^2+d^2-2(D^2+d^2)\sim{D^2+d^2-2Dd}=(D-d)^2[/texx].



Saludos y muchas gracias por la paciencia.
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.282


Ver Perfil WWW
« Respuesta #16 : 18/07/2017, 01:43:57 pm »


La igualdad del paralelogramo se parece un poco al desarrollo del cuadrado de una diferencia

[texx]D^2+d^2-2(D^2+d^2)\sim{D^2+d^2-2Dd}=(D-d)^2[/texx].

Ojo, que ahí has puesto solo las diagonales [texx]D\textrm{ y }d[/texx], yu han desparecido los lados [texx]L\textrm{ y }l[/texx].

Saludos y muchas gracias por la paciencia.

Nada, saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!