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Autor Tema: \(|z|<1\wedge|a|<1\vee|z|>1\wedge|a|>1\Rightarrow{|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}|}<1\)?  (Leído 610 veces)
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« : 18/07/2017, 01:49:05 pm »



Prueba que    [texx]\left|\displaystyle\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|<1[/texx]    si    [texx]|z|<1[/texx]    y    [texx]|a|<1[/texx]   y también si    [texx]|z|>1[/texx]    y    [texx]|a|>1[/texx].



Sugerencia: Una estrategia básica para probar desigualdades entre módulos de números complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.
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« Respuesta #1 : 18/07/2017, 02:01:49 pm »

Si, si. La sugerencia no está mal, pero si hacemos esto


[texx]|a|<1\Leftrightarrow{-1<a<1}[/texx]


o esto

[texx]|a|^2<1\Leftrightarrow{a\bar{a}<1}[/texx]


ya hemos perdido el sentido. En    [texx]\mathbb{C}[/texx]    no hay definida ninguna estructura de orden. ¿No?


Saludos.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 18/07/2017, 02:16:37 pm »

Si, si. La sugerencia no está mal, pero si hacemos esto

[texx]|a|<1\Leftrightarrow{-1<a<1}[/texx]

o esto

[texx]|a|^2<1\Leftrightarrow{a\bar{a}<1}[/texx]

ya hemos perdido el sentido. En    [texx]\mathbb{C}[/texx]    no hay definida ninguna estructura de orden. ¿No?

Pero es que [texx]a[/texx] es un número complejo y entonces no es cierto que [texx]|a|<1\Leftrightarrow{-1<a<1}[/texx], pues efectivamente no tenemos definida ninguna relación de orden que nos permita hacer esto, ni podemos definirla de manera que sea compatible con las operaciones aritméticas y se reduzca al orden habitual en [texx]\mathbb{R}[/texx].

Lo que te sugieren que apliques es que para cualquier complejo [texx]z[/texx]:

[texx]\left |{z}\right | < 1\;\Longleftrightarrow{}\; z\cdot{\overline{z}} = \left |{z}\right |^2 < 1[/texx]

teniendo en cuenta que [texx]\left |{z}\right |[/texx] si que es un número real y no negativo.

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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« Respuesta #3 : 18/07/2017, 03:20:36 pm »

Si, si. La sugerencia no está mal, pero si hacemos esto

[texx]|a|<1\Leftrightarrow{-1<a<1}[/texx]

o esto

[texx]|a|^2<1\Leftrightarrow{a\bar{a}<1}[/texx]

ya hemos perdido el sentido. En    [texx]\mathbb{C}[/texx]    no hay definida ninguna estructura de orden. ¿No?

Pero es que [texx]a[/texx] es un número complejo y entonces no es cierto que [texx]|a|<1\Leftrightarrow{-1<a<1}[/texx], pues efectivamente no tenemos definida ninguna relación de orden que nos permita hacer esto, ni podemos definirla de manera que sea compatible con las operaciones aritméticas y se reduzca al orden habitual en [texx]\mathbb{R}[/texx].

Lo que te sugieren que apliques es que para cualquier complejo [texx]z[/texx]:

[texx]\left |{z}\right | < 1\;\Longleftrightarrow{}\; \color{red}z\cdot{\overline{z}}\color{black} = \left |{z}\right |^2 \color{red}< 1[/texx]

teniendo en cuenta que [texx]\left |{z}\right |[/texx] si que es un número real y no negativo.

Saludos,

Hola.

Lo que está en rojo ya no es correcto por que no tiene sentido.

Lo correcto en todo caso será


[texx]\left |{z}\right | < 1\;\Longleftrightarrow{}\; \left |{z}\right |^2 < 1[/texx]    por un lado y    [texx]z\bar{z}=|z|^2[/texx]    por otro.
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robinlambada
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« Respuesta #4 : 18/07/2017, 03:50:34 pm »

Hola.
Pero es que [texx]a[/texx] es un número complejo y entonces no es cierto que [texx]|a|<1\Leftrightarrow{-1<a<1}[/texx], pues efectivamente no tenemos definida ninguna relación de orden que nos permita hacer esto, ni podemos definirla de manera que sea compatible con las operaciones aritméticas y se reduzca al orden habitual en [texx]\mathbb{R}[/texx].

Lo que te sugieren que apliques es que para cualquier complejo [texx]z[/texx]:

[texx]\left |{z}\right | < 1\;\Longleftrightarrow{}\; \color{red}z\cdot{\overline{z}}\color{black} = \left |{z}\right |^2 \color{red}< 1[/texx]

teniendo en cuenta que [texx]\left |{z}\right |[/texx] si que es un número real y no negativo.

Saludos,

Hola.

Lo que está en rojo ya no es correcto por que no tiene sentido.

Lo correcto en todo caso será


[texx]\left |{z}\right | < 1\;\Longleftrightarrow{}\; \left |{z}\right |^2 < 1[/texx]    por un lado y    [texx]z\bar{z}=|z|^2[/texx]    por otro.


 :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Pero si has puesto lo mismo que ilarrosa.

Pero si     [texx]z\bar{z}=|z|^2[/texx]  y [texx]\left |{z}\right |^2 < 1[/texx] , entonces [texx]z\bar{z}<1[/texx]

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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« Respuesta #5 : 18/07/2017, 07:22:44 pm »

Hasta donde he llegado, pero no consigo sacar ninguna conclusión.

Utilizando la contrarecíproca para    [texx]|a|<1,|z|<1[/texx],    será


[texx]|z-a|\geq{|1-\bar{a}z|}\Rightarrow{|a|\geq{1}\vee|z|}\geq{1}[/texx],


entonces, desarrollando el miembro de la izquierda,


[texx]\begin{array}{ccc}|z-a|\geq{|1-\bar{a}z|}&\Rightarrow&{\left|z-a\right|^2\geq{\left|1-\bar{a}z\right|^2}}\\\\
&\Rightarrow{}&(z-a)(\bar{z}-\bar{a})\geq{(1-\bar{a}z)(\bar{1}-\overline{\bar{a}z})}\\\\
&\Rightarrow{}&z\bar{z}-z\bar{a}-\bar{z}a+a\bar{a}\geq{(1-\bar{a}z)(1-\overline{\bar{a}z})}\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+|a|^2-(z\bar{a}+\overline{z\bar{a}})\geq{1-\overline{\bar{a}z}}-\bar{a}z+|\bar{a}z|^2\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+|a|^2-\cancel{\;\;2\Re(z\bar{a})}\geq{1-\cancel{\;\;2\Re(z\bar{a})}+|\bar{a}|^2|z|^2}\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+|a|^2\geq{1+|z|^2|a|^2}\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+|a|^2-|az|^2\geq{1}\end{array}[/texx]

Aunque tampoco sabría decir si al desarrollar los módulos en producto de conjugados y obtener nuevos módulos se sigue conservando la desigualdad. Supongo que hace falta una demostración.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 19/07/2017, 05:38:09 am »

Hola

Aunque tampoco sabría decir si al desarrollar los módulos en producto de conjugados y obtener nuevos módulos se sigue conservando la desigualdad. Supongo que hace falta una demostración.

No entiendo cual es la duda ahí. Puedes usar perfectamente que [texx]z\bar z=|z|^2[/texx]. ¿Qué es lo que se supone que tienes que demostrar?.

Por otra parte desde aquí:

Cita
[texx]
|z|^2+|a|^2-|az|^2\geq{1}[/texx]

[texx]|z|^2+|a|^2-|a|^2|z|^2-1\geq 0[/texx]

[texx](|z|^2-1)(1-|a|^2)\geq 0[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #7 : 19/07/2017, 07:49:42 am »

No entiendo cual es la duda ahí. Puedes usar perfectamente que [texx]z\bar z=|z|^2[/texx]. ¿Qué es lo que se supone que tienes que demostrar?.


Supongamos por ejemplo que    [texx]|z+w|<|a+b|[/texx]    [texx]z,w,a,b\in{\mathbb{C}}[/texx]

¿Mantiene el siguiente desarrollo la desigualdad?


[texx]\begin{array}{ccc}|z+w|<|a+b|&\Rightarrow&{|z+w|^2}<|a+b|^2\\\\
&\Rightarrow&{(z+w)(\bar{z}+\bar{w})<(a+b)(\bar{a}+\bar{b})}\\\\
&\Rightarrow{}&z\bar{z}+z\bar{w}+\bar{z}w+w\bar{w}<a\bar{a}+a\bar{b}+\bar{a}b+b\bar{b}\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+\overline{\bar{z}w}+\bar{z}w+|w|^2<|a|^2+\overline{\bar{a}b}+\bar{a}b+|b|^2\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+2\Re(\bar{z}w)+|w|^2<|a|^2+2\Re(\bar{a}b)+|b|^2\\\\
\end{array}[/texx]


Por otra parte desde aquí:

[texx]|z|^2+|a|^2-|az|^2\geq{1}[/texx]

[texx]|z|^2+|a|^2-|a|^2|z|^2-1\geq 0[/texx]

[texx](|z|^2-1)(1-|a|^2)\geq 0[/texx]

Saludos.

Lo último implica que    [texx]|z|^2\geq{1}\wedge|a|^2\geq{1}[/texx]    lo cual implica a su vez que   [texx]|z|^2\geq{1}\vee|a|^2\geq{1}[/texx]


Saludos y gracias.
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« Respuesta #8 : 19/07/2017, 08:13:10 am »

Hola

Supongamos por ejemplo que    [texx]|z+w|<|a+b|[/texx]    [texx]z,w,a,b\in{\mathbb{C}}[/texx]

¿Mantiene el siguiente desarrollo la desigualdad?


[texx]\begin{array}{ccc}|z+w|<|a+b|&\Rightarrow&{|z+w|^2}<|a+b|^2\\\\
&\Rightarrow&{(z+w)(\bar{z}+\bar{w})<(a+b)(\bar{a}+\bar{b})}\\\\
&\Rightarrow{}&z\bar{z}+z\bar{w}+\bar{z}w+w\bar{w}<a\bar{a}+a\bar{b}+\bar{a}b+b\bar{b}\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+\overline{\bar{z}w}+\bar{z}w+|w|^2<|a|^2+\overline{\bar{a}b}+\bar{a}b+|b|^2\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+2\Re(\bar{z}w)+|w|^2<|a|^2+2\Re(\bar{a}b)+|b|^2\\\\
\end{array}[/texx]

Si, se mantiene. De hecho excepto en la primera implicación, lo que aplicas son igualdades y todos los pasos son en realidad equivalencias. ¿En qué paso se supone que tienes dudas?.

Cita
Por otra parte desde aquí:

[texx]|z|^2+|a|^2-|az|^2\geq{1}[/texx]

[texx]|z|^2+|a|^2-|a|^2|z|^2-1\geq 0[/texx]

[texx](|z|^2-1)(1-|a|^2)\geq 0[/texx]

Saludos.

Lo último implica que    [texx]|z|^2\geq{1}\wedge|a|^2\geq{1}[/texx]    lo cual implica a su vez que   [texx]|z|^2\geq{1}\vee|a|^2\geq{1}[/texx]

No. Que [texx](|z|^2-1)(1-|a|^2)\geq 0[/texx] significa que [texx](|z|^2-1)[/texx] y [texx](1-|a|^2)[/texx] tienen el mismo signo, es decir:

[texx]|z|^2>1[/texx] y [texx]|a|^2<1[/texx]

ó bien

[texx]|z|^2<1[/texx] y [texx]|a|^2>1[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #9 : 19/07/2017, 08:59:06 am »

Hola

Supongamos por ejemplo que    [texx]|z+w|<|a+b|[/texx]    [texx]z,w,a,b\in{\mathbb{C}}[/texx]

¿Mantiene el siguiente desarrollo la desigualdad?


[texx]\begin{array}{ccc}|z+w|<|a+b|&\Rightarrow&{|z+w|^2}<|a+b|^2\\\\
&\Rightarrow&{(z+w)(\bar{z}+\bar{w})<(a+b)(\bar{a}+\bar{b})}\\\\
&\Rightarrow{}&z\bar{z}+z\bar{w}+\bar{z}w+w\bar{w}<a\bar{a}+a\bar{b}+\bar{a}b+b\bar{b}\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+\overline{\bar{z}w}+\bar{z}w+|w|^2<|a|^2+\overline{\bar{a}b}+\bar{a}b+|b|^2\\\\
&\Rightarrow{}&|z|^2+2\Re(\bar{z}w)+|w|^2<|a|^2+2\Re(\bar{a}b)+|b|^2\\\\
\end{array}[/texx]

Si, se mantiene. De hecho excepto en la primera implicación, lo que aplicas son igualdades y todos los pasos son en realidad equivalencias. ¿En qué paso se supone que tienes dudas?.


De la primera línea a la segunda pasamos de comparar números reales a comparar números complejos.

En la segunda y tercera líneas realizamos operaciones complejas con los números complejos.

De la cuarta a la quinta pasamos de comparar números complejos a comparar números reales.


Cita
Por otra parte desde aquí:

[texx]|z|^2+|a|^2-|az|^2\geq{1}[/texx]

[texx]|z|^2+|a|^2-|a|^2|z|^2-1\geq 0[/texx]

[texx](|z|^2-1)(1-|a|^2)\geq 0[/texx]

Saludos.

Lo último implica que    [texx]|z|^2\geq{1}\wedge|a|^2\geq{1}[/texx]    lo cual implica a su vez que   [texx]|z|^2\geq{1}\vee|a|^2\geq{1}[/texx]

No. Que [texx](|z|^2-1)(1-|a|^2)\geq 0[/texx] significa que [texx](|z|^2-1)[/texx] y [texx](1-|a|^2)[/texx] tienen el mismo signo, es decir:

[texx]|z|^2>1[/texx] y [texx]|a|^2<1[/texx]

ó bien

[texx]|z|^2<1[/texx] y [texx]|a|^2>1[/texx]

Saludos.

Si, se trata de probar que

[texx]\bigg[\Big(\big(|z|<1\big)\wedge\big(|a|<1\big)\Big)\vee\Big(\big(|z|>1\big)\wedge\big(|a|>1\big)\Big)\bigg]\Rightarrow{\left|\displaystyle\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|}<1[/texx],

o su equivalente

[texx]\bigg[\Big(\big(|z|<1\big)\wedge\big(|a|<1\big)\Big)\vee\Big(\big(|z|>1\big)\wedge\big(|a|>1\big)\Big)\bigg]\Rightarrow{|z-a|<|1-\bar{a}z|}[/texx],


o su equivalente el contrarecíproco


[texx]\lnot\big(|z-a|<|1-\bar{a}z|\big)\Rightarrow{\lnot\bigg[\Big(\big(|z|<1\big)\wedge\big(|a|<1\big)\Big)\vee\Big(\big(|z|>1\big)\wedge\big(|a|>1\big)\Big)\bigg]}[/texx],


[texx]\big(|z-a|\geq{}|1-\bar{a}z|\big)\Rightarrow{\bigg[\lnot\Big(\big(|z|<1\big)\wedge\big(|a|<1\big)\Big)\wedge\lnot\Big(\big(|z|>1\big)\wedge\big(|a|>1\big)\Big)\bigg]}[/texx],


[texx]\big(|z-a|\geq{}|1-\bar{a}z|\big)\Rightarrow{\bigg[\Big(\lnot\big(|z|<1\big)\vee\lnot\big(|a|<1\big)\Big)\wedge\Big(\lnot\big(|z|>1\big)\vee\lnot\big(|a|>1\big)\Big)\bigg]}[/texx],


[texx]\big(|z-a|\geq{}|1-\bar{a}z|\big)\Rightarrow{\bigg[\Big(\big(|z|\geq{}1\big)\vee\big(|a|\geq{}1\big)\Big)\wedge\Big(\big(|z|\leq{}1\big)\vee\big(|a|\leq{}1\big)\Big)\bigg]}[/texx],


[texx]\big(|z-a|\geq{}|1-\bar{a}z|\big)\Rightarrow{\bigg[\Big(\big(|z|\geq{}1\big)\wedge\big(|a|\leq{}1\big)\Big)\vee\Big(\big(|z|\leq{}1\big)\wedge\big(|a|\geq{}1\big)\Big)\bigg]}[/texx],


que es lo que se ha hecho.

Saludos y gracias.
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