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Autor Tema: \ell_{0}No es subespacio cerrado de \ell_{2}  (Leído 113 veces)
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Francois
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« : 16/07/2017, 07:36:27 pm »

Buenas con todos.

Tengo una prueba pero tengo dudas, no sé si es correcta.

Problema:
Pruebe que [texx]\ell_{0}[/texx] No es subespacio cerrado de [texx]\ell_{2}[/texx].

[texx]\underline{Prueba}[/texx]:

Sea [texx]x_{n}=(\displaystyle\underbrace{\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n},\ldots,\dfrac{1}{n}}_{n^{2} \ terminos },0,0,\ldots,0,0,0,\ldots)\in \ell_{0} [/texx]

Veamos que la sucesión de sucesiones [texx](x_{n})[/texx] converge en [texx]\ell_{0}[/texx]

Si la sucesión [texx](x_{n})[/texx] es convergente , este convergería al [texx]0=(0,0,\ldots,0,0,\ldots)[/texx]


[texx]\|x_{n}-0\|^{2}_{\infty}=\dfrac{1}{n^{2}}[/texx] que tiende a cero cuando [texx] n\longrightarrow{\infty}[/texx]

Veamos que la sucesión de sucesiones[texx] (x_{n})[/texx] No converge en [texx]\ell_{2}[/texx]

[texx]\|x_{n}-0\|^{2}_{2}=\displaystyle\underbrace{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{2}}}_{n^2 terminos}+0^{2}+\ldots =1 [/texx]

Esto confirmaría que no es cerrado?

Gracias por la ayuda.

Saludos!
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17/07/2017, 05:58:23 am »

Hola

 No está bien.

 En primer lugar no sé porque usas la norma infinita y la norma dos y no sólo una de ellas.

 Si trabajamos en [texx]\ell_2[/texx], lo lógico es usar la norma dos.

 La sucesión que pones de ejemplo cumple:

- Tus sucesiones [texx]x_{n}=(\displaystyle\underbrace{\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n},\ldots,\dfrac{1}{n}}_{n^{2} \ terminos },0,0,\ldots,0,0,0,\ldots)[/texx] están en [texx]\ell_0[/texx] (es obvio).

- No convergen a la sucesión cero en [texx]\ell_2[/texx] ya que:
[texx]
\|x_{n}-0\|^{2}_{2}=\displaystyle\underbrace{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{2}}}_{n terminos}+0^{2}+\ldots =\dfrac{1}{n}[/texx]

(esto lo tenías mal).

- Se puede ver de hecho que no es  una sucesión convergente en [texx]\ell_2 [/texx]y  por tanto no nos vale como contraejemplo de que sea cerrado.

Prueba tomando:

[texx]x_{n}=(\displaystyle\underbrace{\dfrac{1}{2^1},\dfrac{1}{2^2},\ldots,\dfrac{1}{2^n}}_{n\ terminos },0,0,\ldots,0,0,0,\ldots)\in \ell_{0}[/texx]

Saludos.
En línea
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