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Autor Tema: Demostrar que el producto de un polinomio divide otro polinomio  (Leído 50 veces)
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cristianoceli
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« : 16/07/2017, 02:19:41 pm »

Hola tengo dudas con esta demostración

Si [texx]p_1,p_2,...p_n[/texx] son polinomios tal que [texx]MCD (p_i,p_j)=1[/texx] y cada [texx]pi[/texx] divide un polinomio [texx]h[/texx] pruebe que [texx]p_1p_2\ldots p_n[/texx] también  divide  [texx]h[/texx]

Lo que he hecho

Sabemos que:

[texx]p_1 | h \Rightarrow{h=p_1k_1}  [/texx]
[texx]p_2 |h \Rightarrow{h=p_2k_2} [/texx]
    .
    .
    .
[texx]pj |h \Rightarrow{h=p_jk_j}[/texx]



He visto en clases que si [texx]k[/texx] es un cuerpo y [texx]f(x), g(x) \in{k    \left [ x \right ]}[/texx] son polinomios entonces cualquier máximo común divisor es una combinación lineal de [texx]f(x)[/texx] y [texx]g(x)[/texx] si [texx]d[/texx] es el máximo común divisor entonces existen [texx]s[/texx] y [texx]t[/texx] [texx]\in{k    \left [ x \right ]}[/texx] con

[texx]d = sf(x)+tg(x)[/texx]

- Quería generalizarlo, es decir, [texx]d = sf(x)+tg(x)+ rq(x)+...+ nz(x)[/texx] pero creo que no es válido y no se me ocurre como usar [texx]d = sf(x)+tg(x)[/texx]

Saludos
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ilarrosa
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« Respuesta #1 : 16/07/2017, 04:10:29 pm »

Hola tengo dudas con esta demostración

Si [texx]p_1,p_2,...p_n[/texx] son polinomios tal que [texx]MCD (p_i,p_j)=1[/texx] y cada [texx]pi[/texx] divide un polinomio [texx]h[/texx] pruebe que [texx]p_1p_2\ldots p_n[/texx] también  divide  [texx]h[/texx]

Lo que he hecho

Sabemos que:

[texx]p_1 | h \Rightarrow{h=p_1k_1}  [/texx]


Pero entonces,

[texx]p_2 | h = p_1\cdot{}k_1\; \Rightarrow{}\;  p_2 | k_1 \;\Longrightarrow{} k_1 = p_2 \cdot{}k'_2\;\Longrightarrow{}h = p_1\cdot{}p_2\cdot{}k'_2[/texx]

puesto que [texx]\textrm{MCD}(p_1, p_2) = 1[/texx]. No hay más que hacer lo mismo con los restantes [texx]p_i[/texx].

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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« Respuesta #2 : 16/07/2017, 04:15:25 pm »

Hola cristianoceli.

  Podemos resolver el problema del siguiente modo:

[texx]\bullet[/texx] Primero intenta probar que si [texx]q|pr[/texx] y  [texx](p,q)=1[/texx] entonces [texx]q|r[/texx] (estoy asumiendo que [texx]p,q[/texx] y [texx]r[/texx] son polinomios con coeficientes en un cuerpo).

[texx]\bullet[/texx] Ahora podemos proceder por inducción sobre [texx]n[/texx]. Para aplicar el paso inductivo nota que si tenemos [texx]n+1[/texx] polinomios, como [texx]p_{n+1}|h[/texx] podemos escribir [texx]h=p_{n+1}\hat{h}.[/texx] Luego, por el párrafo anterior, como tenemos que [texx]p_{i}|p_{n+1}\hat{h}[/texx] y además [texx](p_{i},p_{n+1})=1[/texx] para todo [texx]i\in\{1,\dots,n\}[/texx] resulta que [texx]p_{i}|\hat{h}[/texx] para todo [texx]i\in\{1,\dots,n\}.[/texx]

 Trata de completar el camino que te estoy indicando y si tienes dificultades, pregunta.

 A propósito, lo que comentas sobre el máximo común divisor de varios polinomios es verdad. Concretamente, si [texx]d=MCD(q_{1},q_{2},\dots,q_{n})[/texx] entonces existen coedicientes [texx]a_{1},\dots,a_{n}[/texx] tales que [texx]d=a_{1}q_{1}+\dots+a_{n}q_{n}.[/texx] Esto puede probarse por inducción, bajo el siguiente spoiler te dejo una idea

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos,

Enrique.

P.S. ilarrosa se me adelantó, dejo esto por si ayuda a complementar su respuesta.
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cristianoceli
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« Respuesta #3 : 16/07/2017, 04:26:20 pm »

Muchas gracias ilarrosa y EnRIquE. Me quedó claro


Saludos
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