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Autor Tema: Prueba que \(x^2+x+1\;\;\;\) divide a \(\;\;\;(x+1)^n-x^n-1\)  (Leído 167 veces)
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« : 16/07/2017, 05:14:27 am »


Demostrar que    [texx](x+1)^n-x^n-1[/texx]    es divisible por    [texx]x^2+x+1[/texx]    sólo si    [texx]n[/texx]    es un número impar no

divisible por    [texx]3[/texx].


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« Respuesta #1 : 16/07/2017, 06:12:27 am »

EDITADO (No tomar demasiado en serio, ya que al hacer las cuentas he visto que mi intuición es errónea, el enunciado es correcto)
Hola

Demostrar que    [texx](x+1)^n-x^n-1[/texx]    es divisible por    [texx]x^2+x+1[/texx]    sólo si    [texx]n[/texx]    es un número impar no divisible por    [texx]3[/texx].

A bote pronto, me parece que el enunciado tiene una errata, creo que debería decir si n es impar divisible entre 3, (lo digo solo por intuición) ya que una idea es que para que [texx]x^2+x+1[/texx](1) divida a [texx](x+1)^n-x^n-1[/texx](2)  , las 2 raíces de (1) deben ser raíces de (2).

Las raíces de [texx]x^2+x+1[/texx] son: [texx]cos \displaystyle\frac{\color{red}2\color{black}\pi}{3}\pm{}sen \displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot{i}[/texx] y entonces [texx] x^n=cos \displaystyle\frac{\color{red}2\color{black}n\pi}{3}\pm{}sen \displaystyle\frac{n\pi}{3}\cdot{i}[/texx] como también hay un [texx]x+1[/texx], solo por intuición, pienso que [texx]cos \displaystyle\frac{\color{red}2\color{black}n\pi}{3}+1=0\Rightarrow{} \text{n es} \color{red}\cancel{impar}\color{black}\text{ divisible entre 3}[/texx]  y [texx]\pm{}sen \displaystyle\frac{n\pi}{3}=0\Rightarrow{}\text{n es divisible entre 3}[/texx].

Pero habría que hacer las cuentas, para comprobarlo. Ahora no tengo tiempo.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 16/07/2017, 08:26:33 am »

Desarrollando por el binomio de Newton el paréntesis


[texx](x+1)^n=x^n+nx^{n-1}+\ldots+nx+1[/texx].


El dividendo es el polinomio


[texx]P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+\cancel{1}-x^n-\cancel{1}[/texx],


no cancelamos    [texx]x^n[/texx]    con el término negativo    [texx]-x^n[/texx]    porque nos serán útiles en la resolución del ejercicio.


Las raíces del divisor son


[texx]x=\displaystyle\frac{-1\pm{\sqrt[ ]{1-4}}}{2}=\displaystyle\frac{-1\pm{\sqrt[ ]{3}i}}{2}[/texx],


[texx]x_1=-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i[/texx];            [texx]x_2=-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i[/texx],


[texx]|x_1|=|x_2|=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{3}{4}}=1[/texx],


[texx]\arg(x_1)=\arctg-\sqrt[ ]{3}=120^{\circ{}}[/texx]    ya que está en el segundo cuadrante,


[texx]\arg(x_2)=\arctg\sqrt[ ]{3}=240^{\circ{}}[/texx]    ya que está en el tercer cuadrante,


en su forma polar


[texx]x_1=1_{120}[/texx]    y    [texx]x_2=1_{240}[/texx],


si evaluamos    [texx]P(x_1)[/texx]    y    [texx]P(x_2)[/texx],    las potencias de las raíces que obtenemos en cada término son:


[texx]\begin{array}{ccccccccc}(1_{120})^n,&\ldots&,(1_{120})^{4}&,&(1_{120})^3&,&(1_{120})^2&,&1_{120}&,&-(1_{120})^n\\\\
1_{120n},&\ldots&,1_{120}&,&1_{0}&,&1_{240}&,&1_{120}&,&-(1_{120n})\end{array}[/texx],


para    [texx]x_1[/texx],    y


[texx]\begin{array}{ccccccccc}(1_{240})^n,&\ldots&,(1_{240})^{4}&,&(1_{240})^3&,&(1_{240})^2&,&1_{240}&,&-(1_{240})^n\\\\
1_{240n},&\ldots&,1_{240}&,&1_{0}&,&1_{120}&,&1_{240}&,&-(1_{240n})\end{array}[/texx],


para    [texx]x_2[/texx],


por simetría, las sumas de    [texx]1_{120}+1_{240}[/texx]    al ser conjugados y ser sus partes reales    [texx]-\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]    sumados son    [texx]1_{180}[/texx]

que al sumarlo a    [texx]1_0[/texx]    se anula, esto es, se anulan cada tres términos, con lo que, si    [texx]n[/texx]    es divisible por    [texx]3[/texx]    nos

quedará sólo el término    [texx]-(1_{120n})[/texx]    en el caso de    [texx]x_1[/texx]    y sólo el término     [texx]-(1_{240n})[/texx]    en el caso de    [texx]x_2[/texx],    en

ninguno de los dos casos el polinomio se hace cero.



Para    [texx]x_1[/texx],    si    [texx]n[/texx]    es divisible por    [texx]3[/texx],     los tres términos con las potencias mayores son, en orden descendente


[texx]1_0,1_{240},1_{120}[/texx]



y si    [texx]n[/texx]    es impar y no divisible por    [texx]3[/texx]    el término principal, (el de mayor potencia), será    [texx]1_{120}[/texx]    que se anula

con    [texx]-(1_{120})[/texx],    el polinomio se hace cero en este caso.


Para    [texx]x_2[/texx],    análogamente, los tres términos de mayor potencia son, en orden descendente


[texx]1_0,1_{120},1_{240}[/texx]


y otra vez, si    [texx]n[/texx]     impar, no divisible por    [texx]3[/texx],    el término principal será    [texx]1_{240}[/texx],    que se anula con el respectivo

negativo    [texx]-(1_{240})[/texx],    el polinomio se hace cero también en este caso.



Saludos.
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« Respuesta #3 : 16/07/2017, 01:43:03 pm »

Las raíces de [texx]p(x)=x^2+x+1[/texx] , son:  [texx]x_1=-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i[/texx]   y   [texx]x_2=-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i[/texx].

Si sustituimos [texx]x_1 [/texx] en la ecuación [texx](x+1)^n-x^n-1=0[/texx] obtenemos:

[texx]\left({\dfrac 12 +\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i}\right)^n-\left({-\dfrac 12 +\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i}\right)^n-1=0 [/texx]

[texx]\left({cos(\frac{\pi}3) +sen(\frac{\pi}{3})i}\right)^n-\left({cos(\frac{2\pi}3) +sen(\frac{2\pi}{3})i}\right)^n-1=0 [/texx]

[texx]cos(\frac{n\pi }3) +sen(\frac{n\pi }{3})i-cos(\frac{2n\pi }3) -sen(\frac{2n\pi}{3})i-1=0 [/texx]
 
[texx]cos(\frac{n\pi }3) -cos(\frac{2n\pi }3) -1=0 [/texx] (1)

[texx]sen(\frac{n\pi }{3})-sen(\frac{2n\pi}{3})=0\Leftrightarrow{} sen(\frac{n\pi }{3})\left({1-2cos(\frac{n\pi }3)}\right)[/texx] (2)

De (2) tenemos o que [texx]sen(\frac{n\pi }{3})=0\Rightarrow{}n=3k[/texx]  ó  [texx]1-2cos(\frac{n\pi }3)=0\Rightarrow{}n=2k+1\, \wedge \,
 n\neq{}3k'[/texx] 

Pero es fácil ver que si [texx]n=3k[/texx] de (1) obtenemos que: [texx]cos(k\pi ) -cos(2k\pi ) -1\neq{0} [/texx]

y [texx]n=2k+1\, \wedge \,
 n\neq{}3k'[/texx] de (1)  [texx]cos(\frac{(2k+1)\pi }3) -cos(\frac{2(2k+1)\pi }3) -1=0 \Rightarrow{}\displaystyle\frac 12-(-\displaystyle\frac 12)-1=0[/texx]

Como el polinomio [texx] q(x)=(x+1)^n-x^n-1[/texx] es de coeficientes reales, también es raíz la conjugada de [texx]x_1[/texx], por tanto [texx]x_2 [/texx] es raíz de [texx]q(x)[/texx] , entonces:

[texx]p(x)=x^2+x+1[/texx]  divide a  [texx] q(x)=(x+1)^n-x^n-1[/texx]

Saludos.

P.D.: Mi intuición ha fallado.
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« Respuesta #4 : 16/07/2017, 01:54:24 pm »

Las raíces de [texx]p(x)=x^2+x+1[/texx] , son:  [texx]x_1=-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i[/texx]   y   [texx]x_2=-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i[/texx].

Si sustituimos [texx]x_1 [/texx] en la ecuación [texx](x+1)^n-x^n-1=0[/texx] obtenemos:

[texx]\left({\dfrac 12 +\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i}\right)^n-\left({-\dfrac 12 +\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}i}\right)^n-1=0 [/texx]

[texx]\left({cos(\frac{\pi}3) +sen(\frac{\pi}{3})i}\right)^n-\left({cos(\frac{2\pi}3) +sen(\frac{2\pi}{3})i}\right)^n-1=0 [/texx]

[texx]cos(\frac{n\pi }3) +sen(\frac{n\pi }{3})i-cos(\frac{2n\pi }3) -sen(\frac{2n\pi}{3})i-1=0 [/texx]
 
[texx]cos(\frac{n\pi }3) -cos(\frac{2n\pi }3) -1=0 [/texx] (1)

[texx]sen(\frac{n\pi }{3})-sen(\frac{2n\pi}{3})=0\Leftrightarrow{} sen(\frac{n\pi }{3})\left({1-2cos(\frac{n\pi }3)}\right)[/texx] (2)

De (2) tenemos o que [texx]sen(\frac{n\pi }{3})=0\Rightarrow{}n=3k[/texx]  ó  [texx]1-2cos(\frac{n\pi }3)=0\Rightarrow{}n=2k+1\, \wedge \,
 n\neq{}3k'[/texx] 

Pero es fácil ver que si [texx]n=3k[/texx] de (1) obtenemos que: [texx]cos(k\pi ) -cos(2k\pi ) -1\neq{0} [/texx]

y [texx]n=2k+1\, \wedge \,
 n\neq{}3k'[/texx] de (1)  [texx]cos(\frac{(2k+1)\pi }3) -cos(\frac{2(2k+1)\pi }3) -1=0 \Rightarrow{}\displaystyle\frac 12-(-\displaystyle\frac 12)-1=0[/texx]

Como el polinomio [texx] q(x)=(x+1)^n-x^n-1[/texx] es de coeficientes reales, también es raíz la conjugada de [texx]x_1[/texx], por tanto [texx]x_2 [/texx] es raíz de [texx]q(x)[/texx] , entonces:

[texx]p(x)=x^2+x+1[/texx]  divide a  [texx] q(x)=(x+1)^n-x^n-1[/texx]

Saludos.

P.D.: Mi intuición ha fallado.


Caray!

Bastante más sencillo y más consistente. Y sin desarrollar el binomio.  Gracias y saludos.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #5 : 16/07/2017, 05:06:36 pm »


Demostrar que    [texx](x+1)^n-x^n-1[/texx]    es divisible por    [texx]x^2+x+1[/texx]    sólo si    [texx]n[/texx]    es un número impar no

divisible por    [texx]3[/texx].



De otra forma: Estamos interesados en conocer el resto de la división de  [texx](x+1)^n-x^n-1[/texx] entre  [texx]x^2+x+1[/texx], y en particular, ver cuando es cero. Será:

[texx](x+1)^n-x^n-1 = (x^2+x+1)q(x) + r(x)[/texx]

para ciertos polinomios [texx]q(x)\textrm{ y }r(x)[/texx] perfectamente determinados, con [texx]r(x)[/texx] de grado menor que [texx]2[/texx]. Para las raíces de [texx]x^2+x+1[/texx] tenemos que [texx]x+1 = -x^2[/texx], por lo que nos queda:

[texx](-x^2)^n-x^n-1 = r(x)[/texx]

Si r(x) = 0,

[texx](-x^2)^n - x^n = 1[/texx]

Ahora bien, las raíces de  [texx]x^2+x+1\textrm{ son }1_{\pm{}\frac{2\pi}{3}}[/texx]. Esto puede verse, aparte de resolviendo la ecuación de 2º grado, multiplicando por [texx](x - 1)[/texx] para obtener [texx]x^3 - 1 = 0[/texx] y descartar [texx]x = 1[/texx]. Como estas dos raíces son conjugadas, basta utilizar una de ellas, por ejemplo [texx]1_{\frac{2\pi}{3}}[/texx]

[texx]\left(-\left(1_{\frac{2\pi}{3}} \right)^2\right)^n - \left(1_{\frac{2\pi}{3}} \right)^n = 1[/texx]

[texx]\left(- 1_{\frac{4\pi}{3}} \right)^n - 1_{\frac{2n\pi}{3}} = 1[/texx]

[texx]\left(1_{\frac{4\pi}{3} + \pi} \right)^n - 1_{\frac{2n\pi}{3}} = 1[/texx]

[texx]1_{\frac{4n\pi}{3}+n\pi}  - 1_{\frac{2n\pi}{3}} = 1[/texx]

[texx]1_{\frac{7n\pi}{3}}  - 1_{\frac{2n\pi}{3}} = 1[/texx]

[texx]1_{\frac{n\pi}{3}}  - 1_{\frac{2n\pi}{3}} = 1[/texx]

Para que esta diferencia sea igual a 1, las partes imaginarias deben ser iguales y las reales diferenciarse en [texx]1[/texx],  lo que obliga a que:

[texx]\frac{n\pi}{3} = \pm{}\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \;\; \frac{2n\pi}{3} = \pm{}\frac{2\pi}{3} + 2k\pi[/texx]

(utilizando el mismo signo en los dos casos)

[texx]n \equiv \pm{}1\; (\textrm{mod} \,6)[/texx]

Es decir, [texx]n[/texx] debe ser un impar no múltiplo de [texx]3[/texx].

Saludos,



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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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