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Autor Tema: Sobre epimorfismos y monomorfismos  (Leído 127 veces)
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AeR
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« : 15/07/2017, 09:36:01 pm »

Según mis apuntes, tengo las siguientes afirmaciones:

i) La composición de monomorfismos es un monomorfismo. Si [texx]g\circ f[/texx] es monomorfismo, entonces [texx]f[/texx] es monomorfismo.

ii) La composición de epimorfismos es un epimorfismos. Si [texx]g\circ f[/texx] es epimorfismo, entonces [texx]g[/texx] es epimorfismo.

Consigo ver que si [texx]f,g[/texx] son monomorfismos (respectivamente, epimorfismos) entonces [texx]g\circ f[/texx] es monomorfismo (respectivamente, epimorfismo) puesto que la composición de aplicaciones es asociativa.

No obstante, para las segundas partes, no entiendo como pasan de [texx] h\circ(g\circ f)=j\circ(g\circ f) \implies h=j [/texx] a que [texx]h\circ g=j\circ g\implies h=j[/texx] (donde [texx]j,h[/texx] son morfismos cualesquiera) para el caso de [texx]g\circ f[/texx] epimorfismo y la respectiva implicación en el caso de que sea monomorfismo. Supongo que debe ser algún detalle sencillo, pero no consigo verlo.
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« Respuesta #1 : 16/07/2017, 04:26:59 pm »

Hola AeR.

 Por el foro en el que publicas tu duda no estoy seguro si esto te sirve. ¿Lo que hay que probar en el segunda parte de i es que si [texx]f(x)=f(y)[/texx] entonces [texx]x=y[/texx]? Si este fuera el caso podemos proceder por contradicción. Suponiendo que existen [texx]x,y[/texx] diferentes tales que [texx]f(x)=f(y),[/texx] al componer con [texx]g[/texx] obtenemos que [texx]g\circ f(x)=g\circ f(y)[/texx] con [texx]x\neq y.[/texx] Esto es absurdo, pues [texx]g\circ f[/texx] es monomorfismo.

 Algo similar se puede hacer en el otro caso.

 Si esto no te ayuda, ojalá pudieras escribir las definiciones de monomorfismo y epimorfismo que tienes, y tratamos de ayudarte.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 16/07/2017, 06:14:56 pm »

Hola, EnRIquE.

Suponiendo que existen [texx]x,y[/texx] diferentes tales que [texx]f(x)=f(y),[/texx] al componer con [texx]g[/texx] obtenemos que [texx]g\circ f(x)=g\circ f(y)[/texx] con [texx]x\neq y.[/texx] Esto es absurdo, pues [texx]g\circ f[/texx] es monomorfismo.

Creo que tu aporte no me es de mucha ayuda. Pongo las definiciones para ver si consigo aclarar mi duda.

Dado un morfismo [texx]f:X\rightarrow Y[/texx] se dice que es un epimorfismo si para todo objeto [texx]Z[/texx] y todo par de morfismos [texx]h,g:Y\rightarrow Z[/texx] se cumple la implicación [texx]h\circ f=g\circ f\implies h=g[/texx]; esto es, si [texx]f[/texx] es cancelable a la derecha.

El morfismo [texx]f[/texx] se dice monomorfismo si es cancelable a la izquierda, y se dice bimorfismo si es cancelable a la izquierda y a la derecha.
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« Respuesta #3 : 16/07/2017, 08:34:57 pm »

Ya veo. Pero entonces la idea es la misma sólo hay que cambiar los [texx]\color{green}(x)[/texx] y [texx]\color{green}(y)[/texx] de mi anterior respuesta por [texx]\color{blue}\circ h_{1}[/texx] y [texx]\color{blue}\circ h_{2}[/texx] respectivamente. Me explico, supongamos que [texx]f[/texx] no es monomorfismo, entonces existirán [texx]h_{1}[/texx] y [texx]h_{2}[/texx] diferentes tales que [texx]f\circ h_{1}=f\circ h_{2},[/texx] pero en este caso [texx](g\circ f)\circ h_{1}=(g\circ f)\circ h_{2},[/texx] que es absurdo. La segunda parte de ii es análoga.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 16/07/2017, 08:52:29 pm »

Oh, es verdad, al final sí resultó buena la indicación. Muchas gracias, Enrique.
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