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Autor Tema: Teorema fundamental del algebra  (Leído 237 veces)
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« : 15/07/2017, 05:40:37 am »


¿Cuál de todos los enunciados del teorema es el correcto?


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« Respuesta #1 : 15/07/2017, 11:19:00 am »

Creo que te has olvidado de escribir la mayor parte del enunciado, imagino que te están dando diversas opciones, ¿no? Sino es escribir el enunciado tal cual que puedes encontrar por internet rápidamente.
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« Respuesta #2 : 15/07/2017, 02:20:26 pm »

Creo que te has olvidado de escribir la mayor parte del enunciado, imagino que te están dando diversas opciones, ¿no? Sino es escribir el enunciado tal cual que puedes encontrar por internet rápidamente.

He visto varios.

"El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz."

"Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja)."


"Cada ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces en el cuerpo de los complejos."


"Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene siempre por lo menos una raíz real o imaginaria."


"Todo polinomio de cualesquiera coeficientes numéricos, cuyo grado no sea menor que la unidad, tiene por lo menos una raíz, generalmente, compleja"



Por poner algunos.

¿Es posible que todos digan lo mismo?

Hace falta para el teorema

  • Polinomios
  • ¿Grado mayor que uno/cero?
  • Coeficientes ¿Complejos, Reales? ¿Complejos dado que    [texx]\mathbb{R\subset{\mathbb{C}}}[/texx]?    ¿Reales excluyendo coeficientes complejos?

¿Cúantas y a que cuerpo pertenecen entonces las raíces que deberá tener?


Un saludos y gracias.
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« Respuesta #3 : 15/07/2017, 03:01:58 pm »

¿Es posible que todos digan lo mismo?

Hace falta para el teorema

  • Polinomios
  • ¿Grado mayor que uno/cero?
  • Coeficientes ¿Complejos, Reales? ¿Complejos dado que    [texx]\mathbb{R\subset{\mathbb{C}}}[/texx]?    ¿Reales excluyendo coeficientes complejos?

¿Cuantas y a que cuerpo pertenecen entonces las raíces que deberá tener?

Sí, fundamentalmente todos están diciendo lo mismo. Respecto a tus preguntas, los coeficientes en general son complejos. Esto quiere decir que en particular pueden ser reales, naturales, etc. porque todos estos conjuntos están incluidos en [texx]\mathbb{C}[/texx]. Eso sí, las soluciones en general son complejas, aunque (por ejemplo) los coeficientes sean reales. Por poner un caso concreto, [texx]p(x)=x^2+1[/texx] es un polinomio con coeficientes reales, pero sus raíces no son reales. Sobre el número de raíces, hay tantas como el grado del polinomio, es decir, hay [texx]n[/texx] raíces complejas.

Espero haberte ayudado.
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« Respuesta #4 : 15/07/2017, 03:59:29 pm »



"Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene siempre por lo menos una raíz real o imaginaria."




Yo diría que esa en particular no es correcta... Hasta la fecha nunca he visto el término imaginario como equivalente de complejo; en todo caso, como sinónimo de imaginario puro y, salvo que el autor por algún motivo se refiera a los complejos como imaginarios, el enunciado es falso.

[texx]z - (3+i) = 0[/texx] tiene una única raíz, compleja, pero no imaginaria pura.
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« Respuesta #5 : 15/07/2017, 04:07:07 pm »

Hola. El teorema se enuncia y demuestra (hasta donde yo se) para ecuaciones algebraicas, por tanto son necesarios las ecuaciones polinómicas.

Si, todos en esencia dicen lo mismo (por lo menos los que yo he visto ).

Toda ecuación algebraica de grado n , tiene n raíces en el cuerpo de los complejos, independientemente del tipo de coeficientes de la ecuación (reales o complejos).

Si los coeficientes son reales las raíces complejas vienen dadas por parejas de raíz y conjugada.

Si toda ecuación algebraica en un cuerpo tiene al menos una raíz en el cuerpo, se dice que es cerrado, por esto el cuerpo de los complejos es cerrado y el de los reales no.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 15/07/2017, 04:12:56 pm »

¿Es posible que todos digan lo mismo?

Hace falta para el teorema

  • Polinomios
  • ¿Grado mayor que uno/cero?
  • Coeficientes ¿Complejos, Reales? ¿Complejos dado que    [texx]\mathbb{R\subset{\mathbb{C}}}[/texx]?    ¿Reales excluyendo coeficientes complejos?

¿Cuantas y a que cuerpo pertenecen entonces las raíces que deberá tener?

Sí, fundamentalmente todos están diciendo lo mismo. Respecto a tus preguntas, los coeficientes en general son complejos. Esto quiere decir que en particular pueden ser reales, naturales, etc. porque todos estos conjuntos están incluidos en [texx]\mathbb{C}[/texx]. Eso sí, las soluciones en general son complejas, aunque (por ejemplo) los coeficientes sean reales. Por poner un caso concreto, [texx]p(x)=x^2+1[/texx] es un polinomio con coeficientes reales, pero sus raíces no son reales. Sobre el número de raíces, hay tantas como el grado del polinomio, es decir, hay [texx]n[/texx] raíces complejas.

Espero haberte ayudado.

Si, claro. Muchas gracias pero sigue habiendo dudas.

Entonces, los coeficientes y el grado aclarados. Coeficientes complejos, esto incluye a todos los números. y el grado ha de ser mayor que uno.

Ahora, bajo estas hipótesis que pretende deducir el teorema

¿Que el número de raíces de un polinomio es igual a su grado?

¿Que son complejas incluyendo las reales? Es decir, ¿que pueden o no tener la parte imaginaria nula?

¿O simplemente, que tiene    [texx]n[/texx]    raíces en    [texx]\mathbb{C\supset{\mathbb{R}\supset{\mathbb{Q}\supset{\mathbb{Z}\supset{\mathbb{N}}}}}}[/texx]si su grado es    [texx]n[/texx]    contando multiplicidades?


Saludos.
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« Respuesta #7 : 15/07/2017, 04:15:00 pm »

Hola Suiron


"Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene siempre por lo menos una raíz real o imaginaria."




Yo diría que esa en particular no es correcta... Hasta la fecha nunca he visto el término imaginario como equivalente de complejo; en todo caso, como sinónimo de imaginario puro y, salvo que el autor por algún motivo se refiera a los complejos como imaginarios, el enunciado es falso.

[texx]z - (3+i) = 0[/texx] tiene una única raíz, compleja, pero no imaginaria pura.
Yo he escuchado más de una vez referirse a los números imaginarios como los complejos, aunque quizás ahora esté en desuso. No tiene sentido que imaginario sea sinónimo de su propio vocablo con la restrición de un adjetivo, ¿entonces para que sirve el adjetivo puro? según tu sobraría. Si hay imaginarios puros  es porque también hay imaginarios que no son puros, los imaginarios puros son un subconjunto de los imaginarios también llamados complejos.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 15/07/2017, 04:23:59 pm »


Si los coeficientes son reales las raíces complejas vienen dadas por parejas de raíz y conjugada.


En este caso no se incluye ninguna de la forma    [texx]a+0i,a-0i[/texx]    [texx]a\in{\mathbb{R}}[/texx]. ¿Es así?

Es decir, si los coeficientes son reales puede o no puede tener raices complejas con la parte imaginaria no nula, pero si tiene alguna, también estará su conjugada. ¿Es así?

Y sobre coeficientes complejos no dice nada el teorema. ¿Es así?
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« Respuesta #9 : 15/07/2017, 04:27:49 pm »


Si, claro. Muchas gracias pero sigue habiendo dudas.

Entonces, los coeficientes y el grado aclarados. Coeficientes complejos, esto incluye a todos los números. y el grado ha de ser mayor que uno.

Ahora, bajo estas hipótesis que pretende deducir el teorema

¿Que el número de raíces de un polinomio es igual a su grado?

En el cuerpo de los complejos si. Fijate que demostrar que al menos tiene una raíz implica que tiene n raíces , solo es necesario factorizar el polinomio y aplicar recursivamente el teorema al factor que queda como polinomio de un grado menor, al cabo de aplicar el teorema n veces , obtenemos n raíces.

Cita

¿Que son complejas incluyendo las reales? Es decir, ¿que pueden o no tener la parte imaginaria nula?

¿O simplemente, que tiene    [texx]n[/texx]    raíces en    [texx]\mathbb{C\supset{\mathbb{R}\supset{\mathbb{Q}\supset{\mathbb{Z}\supset{\mathbb{N}}}}}}[/texx]si su grado es    [texx]n[/texx]    contando multiplicidades?


Saludos.


No he entendido, bien lo que quieres decir con lo segundo, creo que es lo mismo, es decir tiene "n" raíces en el cuerpo de los complejos, incluyendo cualquier subconjunto de el como los reales , etc, por ello pueden tener parte imaginaria cero y por supuesto contando con su multiplicidad.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 15/07/2017, 04:33:07 pm »



Yo he escuchado más de una vez referirse a los números imaginarios como los complejos... No tiene sentido que imaginario sea sinónimo de su propio vocablo con la restrición de un adjetivo, ¿entonces para que sirve el adjetivo puro? según tu sobraría.



Pues si lo has escuchado, entonces estupendo. Lo que he escrito es que yo no, pero no he dicho en ningún momento tampoco que el calificativo de "puro" sobre. No obstante, no es la primera vez ni va a ser la última que se ve una variación más corta de la misma palabra o conjunto de palabras por ahorro y abuso del lenguaje, en respuesta a tu queja sobre el sinsentido.

De hecho, he leído y escuchado mucho cosas como
- "Se denota i por imaginario."
- "La parte imaginaria del número complejo."
- "El eje imaginario de [texx]\mathbb{C}[/texx]."

Y en todas ellas el uso de imaginario siempre es exclusivo de los imaginarios puros. Jamás en la vida he visto algo como "la parte imaginaria del número imaginario" y de hecho, por cosas como esas, creo que tiene más sentido (y ahora sí que lo digo explícitamente), que tiene mayor sentido el uso de imaginario como equivalente de imaginario puro que como equivalente de número complejo.
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« Respuesta #11 : 15/07/2017, 04:51:36 pm »


Si los coeficientes son reales las raíces complejas vienen dadas por parejas de raíz y conjugada.


En este caso no se incluye ninguna de la forma    [texx]a+0i,a-0i[/texx]    [texx]a\in{\mathbb{R}}[/texx]. ¿Es así?
, no te acabo de entender, es que en ese caso la raíz es real ( entendiéndola como el subconjunto más pequeño al que pertenece, evidentemente también es complejo , pero cuando digo real me refiero a complejo con parte imaginaria cero)

Cita

Es decir, si los coeficientes son reales puede o no puede tener raices complejas con la parte imaginaria no nula, pero si tiene alguna, también estará su conjugada. ¿Es así?
Correcto. Pero esto no lo dice el teorema, este hecho deberías conocerlo tú ya que pusiste un ejercicio para demostrarlo y tanto ilarrosa como yo te dimos la demostración conjugando la ecuación. en este hilo reciente.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=96780.msg389430#msg389430

Cita

Y sobre coeficientes complejos no dice nada el teorema. ¿Es así?

El Teorema no distingue entre coeficientes complejos o reales.
Pero es fácil observar que se pueden poner cualquiera 2 raíces complejas (aunque no sean conjugadas) como solución de cualquier ecuación algebraíca en los complejos. Resumiendo si los coeficientes son complejos las raíces complejas No tienen asociada otra raíz conjugada, como te he intentado hacer ver en este hilo también muy reciente, con el ejemplo que te puse al final.(respondiendo a la 2ª parte del enunciado)
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=97033.msg389427#msg389427

Esta ecuación ,  [texx](z-(1+i))(z-1)=0[/texx] si la desarrollas verás que tiene coeficientes complejos y las soluciones no son conjugadas. son [texx]z_1=1[/texx] y [texx]z_2=1+i[/texx], respondiendote a la 2ª cuestión del enunciado, que creía que habías entendido ya que no me respondiste nada.

Saludos.

P.D.:Tengo la sensación que no has acabado de entender las respuestas que te damos en ellos, no dudes en preguntar cuantas dudas te surjan.

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« Respuesta #12 : 15/07/2017, 04:58:57 pm »

Ya puestos y rizando el rizo

Para    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx]    [texx]x^2+2x+1[/texx]    los coeficientes son reales.

Al resolverla

[texx]x=\displaystyle\frac{-2\pm{\sqrt[ ]{4-4}}}{2}[/texx]


[texx]x_1=-1+0i[/texx];        [texx]x_2=-1-0i[/texx]

tiene dos raíces complejas o

[texx]x_1=-1+0[/texx];      [texx]x_2=-1-0[/texx]

tiene dos raíces reales o

[texx]x_1=-1[/texx];      [texx]x_2=-1[/texx]

tiene una raíz real doble.


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« Respuesta #13 : 15/07/2017, 05:10:07 pm »

Ya puestos y rizando el rizo

Para    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx]    [texx]x^2+2x+1[/texx]    los coeficientes son reales.

Al resolverla

[texx]x=\displaystyle\frac{-2\pm{\sqrt[ ]{4-4}}}{2}[/texx]


[texx]x_1=-1+0i[/texx];        [texx]x_2=-1-0i[/texx]

tiene dos raíces complejas o

[texx]x_1=-1+0[/texx];      [texx]x_2=-1-0[/texx]

tiene dos raíces reales o

[texx]x_1=-1[/texx];      [texx]x_2=-1[/texx]

tiene una raíz real doble.



Rizando el rizo, ¿el número 5 es natural, es entero, es racional , es real o es complejo?

Siempre que demos una caracterización en matemáticas intentamos dar la que de más información con menos palabras, aunque todas las opciones son válidas la mejor porque te da más información es que tiene una raíz real doble. Aunque yo diría mejor que tiene una raíz entera doble.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 15/07/2017, 05:12:25 pm »

Esta ecuación ,  [texx](z-(1+i))(z-1)=0[/texx] si la desarrollas verás que tiene coeficientes complejos y las soluciones no son conjugadas. son [texx]z_1=1[/texx] y [texx]z_2=1+i[/texx], respondiendote a la 2ª cuestión del enunciado, que creía que habías entendido ya que no me respondiste nada.

Disculpa, me di cuenta de que es fundamental entender bien, (valga la redundancia), el Teorema fundamental del

Algebra
.

Y lo que es más grave, me di cuenta de que no me sucede.

Pero estamos en ello. Muchas gracias por las ayudas. Han sido muy útiles, han servido para mucho más que para

darme cuenta de mi ignorancia.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 15/07/2017, 05:22:29 pm »

Esta ecuación ,  [texx](z-(1+i))(z-1)=0[/texx] si la desarrollas verás que tiene coeficientes complejos y las soluciones no son conjugadas. son [texx]z_1=1[/texx] y [texx]z_2=1+i[/texx], respondiendote a la 2ª cuestión del enunciado, que creía que habías entendido ya que no me respondiste nada.

Disculpa, me di cuenta de que es fundamental entender bien (valga la redundancia) el Teorema fundamental del

Algebra
.

Y lo que es más grave, me di cuenta de que no me sucede.

Pero estamos en ello. Muchas gracias por las ayudas. Han sido muy útiles, han servido para mucho más que para

darme cuenta de mi ignorancia.

Saludos.
No tienes que disculparte, pero no necesitas para nada el teorema fundamental del álgebra para entender los dos hilos enlazados, fijate que en las respuestas para nada hacemos uso , ni nombramos el teorema fundamental del álgebra, aunque no está de más entenderlo.

Recuerda 3 cosas:

-Todos somos ignorantes hasta que dejamos de serlo, algunos nunca.
-Menos ignorante es el que se percata de este hecho.
-El que pregunta suele dejar de ser ignorante, el que no lo hace lo tiene más difícil.

Saludos.

 
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« Respuesta #16 : 15/07/2017, 05:45:39 pm »



Yo he escuchado más de una vez referirse a los números imaginarios como los complejos... No tiene sentido que imaginario sea sinónimo de su propio vocablo con la restrición de un adjetivo, ¿entonces para que sirve el adjetivo puro? según tu sobraría.



Pues si lo has escuchado, entonces estupendo. Lo que he escrito es que yo no, pero no he dicho en ningún momento tampoco que el calificativo de "puro" sobre. No obstante, no es la primera vez ni va a ser la última que se ve una variación más corta de la misma palabra o conjunto de palabras por ahorro y abuso del lenguaje, en respuesta a tu queja sobre el sinsentido.
No es una queja, solo es un comentario, sobre que sentido tiene añadir puro a imaginario si todos son puros.
Cita

De hecho, he leído y escuchado mucho cosas como
- "Se denota i por imaginario."
- "La parte imaginaria del número complejo."
- "El eje imaginario de [texx]\mathbb{C}[/texx]."

Y en todas ellas el uso de imaginario siempre es exclusivo de los imaginarios puros. Jamás en la vida he visto algo como "la parte imaginaria del número imaginario" y de hecho, por cosas como esas, creo que tiene más sentido (y ahora sí que lo digo explícitamente), que tiene mayor sentido el uso de imaginario como equivalente de imaginario puro que como equivalente de número complejo.
No se suele decir la parte imaginaria de un número imaginario por redundancia pero se podría decir.
Cuando decimos el eje imaginario, no necesitamos decir el eje imaginario puro, porque no hay que distinguirlo de ningún otro eje imaginario, el eje imaginario es único.

Pero si es verdad que puede llevar a confusión, por eso yo no suelo usar el término imaginario para los complejos.

Este fragmento está sacado literalmente de la wikipedia, en el epígrafe de historia:

"Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Originalmente, los números complejos fueron propuestos en 1545, por el matemático italiano, Girolamo Cardano (1501-1576), en un tratado epitómico que versaba sobre la solución de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, con el título de Ars magna. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso."

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

Saludos.

P.D.: lo de imaginario lo entiendo en el sentido de que no son números reales.
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« Respuesta #17 : 15/07/2017, 06:01:19 pm »

Todo esto (que no es para nada parte del interés original del tema, así que no creo que sea buena idea seguir mucho con ello para no desvirtuar el motivo del post) viene a raíz del uso de imaginario como equivalente de complejo.


Si está en desuso, es normal que las nuevas generaciones no lo tomemos como equivalente y por extensión es normal que, como mínimo, si vemos un enunciado con tal equivalencia, lo señalemos.

Ya se ha visto que hay tanto argumentos a favor como en contra para el uso de imaginario como sinónimo de complejo; pero cuando pese a ello, acaba de forma genérica en desuso es porque, en general, es la opción menos "natural" (natural, útil, ambigua...) de alguna forma.


Me pareció necesario mencionarlo para alguien que está, como yo, iniciándose en el mundo de las matemáticas. Y me parece bien que me sacaras de dudas confirmando que sí hay gente que le da o le ha dado ese uso.
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