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Autor Tema: Encontrar ideales  (Leído 129 veces)
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cristianoceli
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« : 14/07/2017, 07:49:08 pm »

Hola tengo dificultades con este ejercicio

Encontrar 3 ideales [texx] a \in{\mathbb{Z}} [/texx] con la propiedad  que [texx](24)\subsetneq (a) [/texx] (Nota [texx]\subsetneq[/texx] significa que es un subconjunto propio)

La definición de ideal que me han dado es:

Un ideal en un anillo conmutativo [texx]A[/texx] es un subconjunto [texx]I\subseteq{A}[/texx] que satisface:

[texx]a)[/texx] [texx]0\in{I}[/texx]
[texx]b)[/texx] [texx]a,b \in{I} \Rightarrow{a+b \in{I}} [/texx]
[texx]c)[/texx] Si [texx]a\in{I}[/texx], [texx]r\in{A}[/texx] entonces [texx]ra \in{I}[/texx]

He pensado en [texx]6k[/texx]  y [texx]4k[/texx] pero no entiendo esta condición [texx](24)\subsetneq (a) [/texx]

Saludos
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« Respuesta #1 : 15/07/2017, 08:11:18 pm »

Hola cristianoceli.

 En [texx]\mathbb{Z}[/texx] el ideal generado por un número, digamos [texx]m,[/texx] es el conjunto de números múltiplos de [texx]m,[/texx] es decir [texx](m)=\{mr:\,r\in\mathbb{Z}\}.[/texx] De esto se deduce que [texx](m)\subset(n)[/texx] si y sólo si [texx]n|m[/texx] ([texx]n[/texx] divide a [texx]m[/texx]), pues si [texx]n|m[/texx] tenemos que [texx]m=nk[/texx] para algún [texx]k\in\mathbb{Z}[/texx] y por tanto todo elemento de la forma [texx]mr[/texx] puede escribirse como [texx]n\cdot kr.[/texx] Y recíprocamente, si [texx](m)\subset(n)[/texx] tenemos que en particular [texx]m\in(n),[/texx] es decir, existe [texx]k\in\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]m=nk.[/texx]

 Teniendo presente lo anterior, encontrar [texx]a\in\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx](24)\subset (a),[/texx] pero [texx](24)\neq(a)[/texx] es equivalente a encontrar un número [texx]a[/texx] que divida a [texx]24[/texx] y que no pertenezca al conjunto [texx]\{-24,24\}.[/texx] Tenemos que encontrar tres de estos números [texx]a.[/texx]

 Intenta terminar y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 15/07/2017, 09:28:14 pm »

Hola cristianoceli.

 En [texx]\mathbb{Z}[/texx] el ideal generado por un número, digamos [texx]m,[/texx] es el conjunto de números múltiplos de [texx]m,[/texx] es decir [texx](m)=\{mr:\,r\in\mathbb{Z}\}.[/texx] De esto se deduce que [texx](m)\subset(n)[/texx] si y sólo si [texx]n|m[/texx] ([texx]n[/texx] divide a [texx]m[/texx]), pues si [texx]n|m[/texx] tenemos que [texx]m=nk[/texx] para algún [texx]k\in\mathbb{Z}[/texx] y por tanto todo elemento de la forma [texx]mr[/texx] puede escribirse como [texx]n\cdot kr.[/texx] Y recíprocamente, si [texx](m)\subset(n)[/texx] tenemos que en particular [texx]m\in(n),[/texx] es decir, existe [texx]k\in\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]m=nk.[/texx]

 Teniendo presente lo anterior, encontrar [texx]a\in\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx](24)\subset (a),[/texx] pero [texx](24)\neq(a)[/texx] es equivalente a encontrar un número [texx]a[/texx] que divida a [texx]24[/texx] y que no pertenezca al conjunto [texx]\{-24,24\}.[/texx] Tenemos que encontrar tres de estos números [texx]a.[/texx]

 Intenta terminar y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Hola, sigo teniendo dudas. Si considero [texx]{2}[/texx] , [texx] {4}[/texx], [texx]{6}[/texx] bajo la definición que me han dado no son ideales ya que no cumplen la condición b)

Saludos
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« Respuesta #3 : 16/07/2017, 03:36:52 pm »

Hola cristianoceli.

 Como te dije antes

En [texx]\mathbb{Z}[/texx] el ideal generado por un número, digamos [texx]m,[/texx] es el conjunto de números múltiplos de [texx]m,[/texx] es decir [texx](m)=\{mr:\,r\in\mathbb{Z}\}.[/texx]

 Esto se cumple para cualquier número [texx]m,[/texx] por ejemplo para [texx]m=4[/texx] tenemos que el ideal generado por [texx]4,[/texx] que denotamos por [texx](4),[/texx] es el conjunto de todos los múltiplos de [texx]4,[/texx] es decir [texx](4)=\{mr:\,r\in\mathbb{Z}\}=\{\dots,-12,-8,-4,0,4,8,12,\dots\}.[/texx] Este conjunto cumple las tres propiedades que debe satisfacer un ideal. En particular la condición b es satisfecha, pues al sumar dos múltiplos de cuatro obtenemos otro múltiplo de cuatro.

 Con esto en mente puedes darle una nueva leída a mi anterior respuesta y si tienes dudas, sigue preguntando.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 16/07/2017, 04:25:14 pm »

Hola cristianoceli.

 Como te dije antes

En [texx]\mathbb{Z}[/texx] el ideal generado por un número, digamos [texx]m,[/texx] es el conjunto de números múltiplos de [texx]m,[/texx] es decir [texx](m)=\{mr:\,r\in\mathbb{Z}\}.[/texx]

 Esto se cumple para cualquier número [texx]m,[/texx] por ejemplo para [texx]m=4[/texx] tenemos que el ideal generado por [texx]4,[/texx] que denotamos por [texx](4),[/texx] es el conjunto de todos los múltiplos de [texx]4,[/texx] es decir [texx](4)=\{mr:\,r\in\mathbb{Z}\}=\{\dots,-12,-8,-4,0,4,8,12,\dots\}.[/texx] Este conjunto cumple las tres propiedades que debe satisfacer un ideal. En particular la condición b es satisfecha, pues al sumar dos múltiplos de cuatro obtenemos otro múltiplo de cuatro.

 Con esto en mente puedes darle una nueva leída a mi anterior respuesta y si tienes dudas, sigue preguntando.

Saludos,

Enrique.

Vale ya entiendo, muchas gracias

Saludos
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