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Autor Tema: Prueba \(\;\;\;|z+w|^2+|z-w|^2=2\left(|z|^2+|w|^2\right)\)  (Leído 284 veces)
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Buscón
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« : 13/07/2017, 09:41:46 pm »



Demuestra la llamada "igualdad del paralelogramo":


[texx]|z+w|^2+|z-w|^2=2\left(|z|^2+|w|^2\right)[/texx]    [texx](z,w\in{\mathbb{C}})[/texx]


y explica su significado geométrico.


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delmar
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« Respuesta #1 : 13/07/2017, 11:22:02 pm »

Hola Buscón

Una forma es poner los complejos en su forma binomial y operar :

[texx]z=x+yi, \ \ w=a+bi[/texx]

[texx]z+w=(x+a)+(y+b)i, \ \ z-w=(x-a)+(y-b)i[/texx]

[texx]\left |{z+w}\right |^2+\left |{z-w}\right |^2=(x+a)^2+(y+b)^2+(x-a)^2+(y-b)^2=(x^2+2ax+a^2)+(y^2+2by+b^2)+(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+b^2)[/texx]

Simplificando se llega a :

[texx]\left |{z+w}\right |^2+\left |{z-w}\right |^2=2(x^2+y^2)+2(a^2+b^2)=2(\left |{z}\right |^2+\left |{w}\right |^2)[/texx]

Saludos

Esperamos tu aporte y la interpretación geométrica.
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mathtruco
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« Respuesta #2 : 13/07/2017, 11:36:56 pm »

Otra forma de probarlo (en realidad es la misma de delmar pero evitando escribir los complejos en su forma binomina), es notar que tienes módulos al cuadrado, por lo que puedes usar la propiedad [texx]|z|^2=z\bar z[/texx].

    [texx]|z+w|^2=(z+w)\overline{(z+w)}=(z+w)(\bar z+\bar w)=z\bar z+z\bar w+w\bar z+w\bar w=|z|^2+z\bar w+w\bar z+|w|^2[/texx]

Análogamente,

    [texx]|z-w|^2=\dots=|z|^2-z\bar w-w\bar z+|w|^2[/texx].

Sumas ambas expresiones y obtienes el resultado.
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« Respuesta #3 : 16/07/2017, 05:08:09 am »

Si gracias. No hay ningún aporte nuevo. Como lo hizo mathtruco es más rápido.


Un saludo.
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« Respuesta #4 : 16/07/2017, 07:10:44 pm »

Se me pasaba por alto la interpretación geométrica.

Aquí la dejo, pero no consigo darle ninguna.   






Saludos

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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #5 : 16/07/2017, 08:55:49 pm »

Se me pasaba por alto la interpretación geométrica.

Aquí la dejo, pero no consigo darle ninguna.   


Simplemente: "En cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los (cuatro) lados"

En el caso de un rectángulo se reduce al teorema de Pitágoras.

Saludos,
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« Respuesta #6 : 17/07/2017, 06:42:56 pm »

Se me pasaba por alto la interpretación geométrica.

Aquí la dejo, pero no consigo darle ninguna.   


Simplemente: "En cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los (cuatro) lados"

En el caso de un rectángulo se reduce al teorema de Pitágoras.

Saludos,

Vale, creo que lo he entendido.

La suma de cualesquiera dos complejos    [texx]z,w\color{red}\in{\color{black}\mathbb{C}}[/texx]    con argumentos     [texx]\alpha,\beta[/texx]    en    [texx]\color{red}[\color{black}0,\pi\color{red}][/texx]    ó    [texx]\color{red}[\color{black}0,-\pi\color{red})[/texx]    es otro complejo cuyo argumento es


[texx]\min\{\alpha,\beta\}+\displaystyle\frac{\max\{\alpha,\beta\}-\min\{\alpha,\beta\}}{2}[/texx],
   


esto es la bisectriz del ángulo que forman    [texx]z[/texx]    y    [texx]w[/texx],     que geométricamente, no es más que la diagonal principal del paralelogramo que se forma cuando se suman. Como la otra diagonal es la diferencia, el significado geométrico de la "igualdad del paralelogramo" no es más que:


"La suma de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo que forman dos números complejos al sumarlos, es igual a la suma de los cuadrados de los lados de dicho paralelogramo."






Saludos.



* igualdad_paralelogramo.png (72.24 KB - descargado 24 veces.)
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« Respuesta #7 : 18/07/2017, 04:55:26 am »

Se me pasaba por alto la interpretación geométrica.

Aquí la dejo, pero no consigo darle ninguna.   


Simplemente: "En cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los (cuatro) lados"

En el caso de un rectángulo se reduce al teorema de Pitágoras.

Saludos,

Vale, creo que lo he entendido.

La suma de cualesquiera dos complejos    [texx]z,w\not\in{\mathbb{C}}[/texx]    con argumentos     [texx]\alpha,\beta[/texx]    en    [texx]]0,\pi[[/texx]    ó    [texx]]0,-\pi[[/texx]    es otro complejo cuyo argumento es

Supongo que lo de [texx]z,w\not\in{\mathbb{C}}[/texx] es un despiste sin más, debe ser [texx]z,w\in{\mathbb{C}}[/texx].

[texx]\min\{\alpha,\beta\}+\displaystyle\frac{\max\{\alpha,\beta\}-\min\{\alpha,\beta\}}{2}[/texx],

esto es la bisectriz del ángulo que forman [texx]z[/texx]    y    [texx]w[/texx],     que geométricamente, no es más que la diagonal principal del paralelogramo que se forma cuando se suman. Como la otra diagonal es la diferencia, el significado geométrico de la "igualdad del paralelogramo" no es más que:


"La suma de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo que forman dos números complejos al sumarlos, es igual a la suma de los cuadrados de los lados de dicho paralelogramo."



La cuestión de los ángulos no tiene importancia aquí, pero no es correcto lo que haces. Se trata de las diagonales del paralelogramo, no de las bisectrices de sus ángulos. No coinciden a menos que el paralelogramo sea un rombo. Es decir, que ambos complejos tengan el mismo módulo.

Y el sentido geométrico de la igualdad tiene que ver con paralelogramos en general, es indiferente que los generes sumando/restando números complejos. En tu conclusión sobra entonces la referencia a los números complejos.

Saludos,
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« Respuesta #8 : 18/07/2017, 05:24:31 am »


Se trata de las diagonales del paralelogramo, no de las bisectrices de sus ángulos. No coinciden a menos que el paralelogramo sea un rombo. Es decir, que ambos complejos tengan el mismo módulo.

Y el sentido geométrico de la igualdad tiene que ver con paralelogramos en general, es indiferente que los generes sumando/restando números complejos. En tu conclusión sobra entonces la referencia a los números complejos.


Si gracias.

Pero aquí se trata precisamente de usar los complejos para probar dicha igualdad. ¿No?


Un saludo.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #9 : 18/07/2017, 05:51:14 am »

Y el sentido geométrico de la igualdad tiene que ver con paralelogramos en general, es indiferente que los generes sumando/restando números complejos. En tu conclusión sobra entonces la referencia a los números complejos.

Pero aquí se trata precisamente de usar los complejos para probar dicha igualdad. ¿No?

Si, pero el sentido geométrico de la igualdad es independiente del método utilizado para probarla. Supongo que la intención del ejercicio es mostrar que los números complejos son útiles para probar de forma muy directa resultados geométricos que, a veces, no son tan fáciles de establecer por procedimientos sintéticos más clásicos.

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