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Autor Tema: Ayuda con este problema de optimización.  (Leído 191 veces)
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Deepuracepa
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« : 13/07/2017, 06:46:29 pm »

¡¡ Hola !!
¿Me podrían ayudar con el siguiente problema de optimización de 2º de bachillerato?

"Sean A y B dos puntos situados en un mismo semiplano de los dos que tienen por borde la recta r. La distancia del punto A a la recta r es a y la distancia de B a la recta r es b. Encontrar sobre r, un punto C de tal manera que el recorrido AC + CB sea mínimo."

Muchas gracias.
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 13/07/2017, 08:40:13 pm »

Hola Deepuracepa, bienvenido al foro:

Utiliza la reflexión de cualquiera de los puntos respecto de la recta r , por ejemplo de A, dandote A', después traza la recta que une A' con B.
la intersección de esta nueva recta con r, te dara el punto C de mínima distancia.
en esta imagen se entiende mejor.


Ahora te pregunto, para ver si entiendes por que es así. ¿Podrías justificarme por qué esta construcción te da el punto C pedido?

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« Respuesta #2 : 13/07/2017, 09:07:02 pm »

Otra pista. fijate que podría tratarse de un rayo reflejado en la recta que hace de espejo, o una pelota que rebota en la pared en C y va desde el punto A al punto B. el ángulo de incidencia es el mismo que el reflejado en C, concretando el ángulo que forma BC con la recta r es el mismo que forma AC, entonces tienes 2 triángulos semejantes, de aquí sacas una ecuación y sustituyen un parámetro en la ecuación de las distancia mínima.

P.D.:Si sigues teniendo dudas , pregunta.
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« Respuesta #3 : 14/07/2017, 04:15:24 am »

Estoy ayudando a un sobrino con los ejercicios y aunque algo de matemáticas recuerdo me temo que ciertos conceptos están un poco oxidados.
Bufff... entiendo lo de la reflexión un poco... y de el Teorema de Thales, pero sigo sin poder relacionar la variable a con b  :llorando:.
Así que sigo sin poner avanzar. Gracias.
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« Respuesta #4 : 14/07/2017, 06:38:19 am »

Estoy ayudando a un sobrino con los ejercicios y aunque algo de matemáticas recuerdo me temo que ciertos conceptos están un poco oxidados.
Bufff... entiendo lo de la reflexión un poco... y de el Teorema de Thales, pero sigo sin poder relacionar la variable a con b  :llorando:.
Así que sigo sin poner avanzar. Gracias.
Entiendo, no te preocupes ( el ejercicio no es de los más fáciles, al contrario me parece dificil para 2º de bachillerato.) , pero es conveniente que si te doy el ejercicio resuelto lo entiendas completamente, para poderlo explicar, es sumamente importante que le des indicaciones a tu sobrino y pistas para que lo intente el con tu  ayuda, no que se lo des todo hecho.

Primero te demostrare que es la misma distancia [texx]|\overline{A'C'}|+|\overline{C'B}|=|\overline{AC'}|+|\overline{C'B}|\Leftrightarrow{}|\overline{A'C'}|=|\overline{A'C'}|[/texx] para cualquier punto [texx]C'[/texx] que pertenezca a la recta r.

Pongamos un punto C' cualquiera de la recta r, observa el dibujo.



Los triángulos ADC' y A'DC' son iguales por tener dos lados iguales ( [texx]AD[/texx] y [texx]A'D[/texx] por simetría y el [texx]DC'[/texx] que es común)  y un ángulo igual de 90º

Por tanto [texx]|\overline{A'C'}|=|\overline{A'C'}|[/texx] y por ello la distancia hasta B pasando por C', es la misma desde A que desde A'. Por tanto para calcular la distancia mínima desde A hasta B por C', es más fácil calcularla desde el punto A'.

Pero es evidente que la distancia mínima desde A' hasta B pasando por un punto de la recta r  es la linea recta.

Por ello el punto pedido es el punto C que te puse en la imagen del primer mensaje, este:


Ahora es fácil ver que que los ángulos de incidencia y reflexión en C son iguales , osea [texx]\alpha=\beta[/texx]

y por ello los triángulos ADC y BD'C son semejantes por tener 2 ángulos iguales ([texx]\alpha=\beta[/texx] y otro de 90º )

Si llamamos d a la distancia [texx]DD'[/texx] , [texx]|\overline{DD'}|=d[/texx] y llamamos [texx]x=|\overline{DC}|[/texx]

Aplicando que [texx]\tan \alpha=\tan \beta\Rightarrow{}\displaystyle\frac{a}{x}=\displaystyle\frac{b}{d-x}[/texx] (1)

Ahora la función distancia a minimizar es [texx] f(x)=|\overline{AC}|+|\overline{CB}|=\sqrt[ ]{(a^2+x^2}+\sqrt[ ]{(b^2+(d-x)^2}
[/texx]  (2)

De la ecuación (1) despejáis la d y la sustituis en la función (2) [texx]f(x)[/texx], como a y b son constantes , solo queda derivar respecto a x e igualar a cero.

Saludos.



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« Respuesta #5 : 14/07/2017, 12:29:58 pm »

Muchas gracias!!  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia: Aplauso Aplauso

El problema lo he sacado de una prueba de Selectividad de La Rioja (junio 96-97) y por ahora es el único con el que no he podido. Es noche después del trabajo lo miro y lo hago para ver si puedo asimilarlo y poder enseñárselo.
Con lo que he leído por encima creo q podré hacerlo.
Si alguna duda persiste seguiré preguntando.
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