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Autor Tema: Demostraciones operaciones conjuntos  (Leído 345 veces)
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guillem_dlc
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« : 13/07/2017, 05:58:45 pm »

Hola,

Me pueden corregir el siguiente ejercicio: Sean [texx]A, B, C[/texx] conjuntos cualesquiera. 

(a) Demuestra que [texx](A\cup B)\cap C\subseteq A\cup (B\cap C).[/texx]

(b) Demuestra que [texx](A\cup B)\cap C=A\cup (B\cap C)[/texx] si y sólo si [texx]A\subseteq C[/texx].


Ahí va mi respuesta:

(a) [texx](A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)\subseteq A\cup (B\cap C)[/texx], pues [texx](A\cap C)\subseteq A[/texx]

(b) (*)[texx]A\subseteq C\rightarrow A\cap C=A[/texx]

[texx](A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)=A\cup (B\cap C)[/texx]

(**)[texx](A\cup B)\cap C=A\cup (B\cap C)\rightarrow (A\cap C)\cup (B\cap C)=A\cup (B\cap C)[/texx]

Supongamos que es falso [texx]A\subseteq C[/texx], esto es [texx]\exists x\in A[/texx], con [texx]x\notin C[/texx]

Entonces: [texx]x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)\subseteq C[/texx], pero [texx]x\in A\subseteq A\cup (B\cap C)\rightarrow x\in A\cup (B\cap C)[/texx]

Esto significa que: [texx](A\cap C)\cup (B\cap C)\neq A\cup (B\cap C)[/texx]

Gracias

Saludos
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #1 : 14/07/2017, 12:50:31 pm »

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Hola guillem_dlc, tu razonamiento es correcto.

Para la última parte, la parte complicada, yo lo escribiría con un poco más de detalle (escribo la misma idea que escribiste, pero yo tengo una manía por explicar cada paso).

Suponemos que [texx]A\subseteq C[/texx]. Queremos probar que [texx](A\cup B)\cap C=A\cup (B\cap C)[/texx], o escrito de forma equivalente, queremos probar que

    [texx](A\cap C)\cup (B\cap C)=A\cup (B\cap C)[/texx]   (1)

Supongamos por el contrario que [texx]A\nsubseteq C[/texx], esto es, existe [texx]x\in A[/texx] tal que [texx]x\notin C[/texx]. Se sigue que

    [texx]x\in A\cup (B\cap C)[/texx]    (2)

Por otra parte, como [texx]A\cap C\subseteq C[/texx]  y  [texx]B\cap C\subseteq C[/texx], entonces

    [texx](A\cap C)\cup (B\cap C)\subseteq C[/texx]   (3)

Luego, por (1) y (2):

    [texx]x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)[/texx]

y por (3)

    [texx]x\in C[/texx]

lo cual contradice la hipótesis.
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