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Autor Tema: Duda sobre el n = 3 expresado en enteros ciclotómicos  (Leído 285 veces)
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« : 13/07/2017, 05:13:58 pm »

Hola,

1) Parto de que es cierto:  [texx]x^3+y^3-z^3=0[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros y coprimos 2 a 2.

2)  Me estudio el hilo de Carlos Ivorra en este Foro: El Último Teorema de Fermat para p = 3

Destaco especialmente -porque lo voy a usar mucho a continuación- que la Norma de un entero ciclotómico de orden 3 expresado en forma única (canónica): " [texx]a+b\omega[/texx] "  ([texx]a,b[/texx]  enteros;  [texx]\omega=\displaystyle\frac{-1+i\sqrt[ ]{3}}{2}[/texx] ) , es el número natural:  [texx]a^2-ab+b^2[/texx] .

3)  Factorizo  [texx]z^3[/texx]  como:  [texx]z^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/texx] .  Luego:  [texx]z^6=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2[/texx]

4)  Realizo las siguientes identificaciones (en el orden 3 de los enteros ciclotómicos) y construyo el siguiente razonamiento -que es sobre el que tengo las dudas-:

    a)  [texx]z^6=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2[/texx]  [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]  [texx]N(z^3)=N(x+y)\,N(\,N(x+y\omega)\,)[/texx]

    b)  [texx]z^6=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2[/texx]  [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]  [texx]N(z^3)=N(x+y)\,N(x+y\omega)^2[/texx]

Algunos por qués:

[texx]N(x+y\omega)=(x+y\omega)(x+y\omega^2)=x^2-xy+y^2[/texx]

[texx]N(\,N(x+y\omega)\,)=(x^2-xy+y^2)^2[/texx]

[texx]N(\,N(x+y\omega)\,)=N(x+y\omega)^2[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

De a), quitando Normas, entiendo que:  [texx]z^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/texx]

De b), haciendo lo mismo:  [texx]z^3=(x+y)(x+y\omega)^2[/texx]

Pero:  [texx]x^2-xy+y^2\neq{(x+y\omega)^2}[/texx]

Imagino que el razonamiento no es correcto, pero me gustaría entender bien por qué no puede hacerse.

Un saludo,
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
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« Respuesta #1 : 14/07/2017, 04:32:13 am »

Hola. Tengo poco tiempo, pero te digo esto. Luego si hace falta puedo aclarar algo más.

No puedes quitar normas en una igualdad. Un caso descarado es [texx]N(\omega)=N(1)[/texx], pero también los tienes menos obvios. Por ejemplo, [texx]N(3+\omega)=N(2-\omega)[/texx], pero los dos números en cuestión son primos ciclotómicos distintos (no asociados).

El segundo "por qué" tiene una prueba más sencilla: por la propia definición, la norma de un número racional es [texx]N(q)=q^2[/texx].
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« Respuesta #2 : 14/07/2017, 06:38:04 am »

Hola Carlos. Gracias por responder. Imaginaba que era algo así, pero tú sabes; por si por si.. acaso podía sacar algo de ahí.. Tenía que intentarlo

Un cordial saludo,
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« Respuesta #3 : 15/07/2017, 02:18:01 pm »

Hola,

Dándole una segunda vuelta, me doy cuenta que lo de la primera entrada (Spoiler) lo que demuestra es que:  [texx]\pmb{N\alpha^2=(N\alpha)^2}[/texx] ,  para  [texx]\alpha=a+b\omega[/texx]  un número ciclotómico de orden 3 cualquiera. Debe ser una propiedad archiconocida de estos números, pero yo no la había leído en ninguna parte.

Saludos,
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« Respuesta #4 : 15/07/2017, 05:03:00 pm »

En el primer mensaje del hilo que has citado al principio de este hilo pone que

[texx]N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2)[/texx]

En el caso de números ciclotómicos de orden 3 es inmediato, pues es equivalente al hecho de que [texx]|z_1z_2|=|z_1||z_2|[/texx]. No obstante, es cierto para números ciclotómicos de cualquier orden. Está probado aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89121.msg358586#msg358586

La propiedad que enuncias es el caso particular en que [texx]z_1=z_2[/texx].
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« Respuesta #5 : 15/07/2017, 05:38:57 pm »

Hola. Aclarado. Ése hilo de la demostración para p = 5 lo seguí. No me acordaba; pero ahora que lo he visto de nuevo sí recuerdo lo de la Norma de un binomio. Tengo muy buen recuerdo de todo aquello pero ahora quiero empezar desde cero, constructivamente, para llegar de nuevo allí. Es la única forma para mí de aprenderlo bien; cada uno tiene la suya. Un saludo,
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