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Autor Tema: Descomposición QR es única  (Leído 47 veces)
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Francois
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« : 13/07/2017, 01:57:36 pm »

Buenas a todos. Estoy usando el libro Numerical Linear Algebra with Applications de William Ford.

Y el problema dice de la siguiente manera:(Problema 17.13)

Sea [texx]A\in \mathbb{ K}^{n\times n}[/texx] que tiene  rango columna completo.
Probar que la descomposición [texx]A=QR[/texx] es única haciendo lo siguientes pasos.

a)[texx]A^{T}A=R^{T}R[/texx].
b)[texx]A^{T}A[/texx] es simétrica definida positiva.
c)Mostrar que existe[texx] R[/texx] único factor de [texx]A^{T}A[/texx] usando teorema 13.3.
d)Mostrar que [texx]Q[/texx] es único.
e)Mostrar que no existe unicidad si [texx]A[/texx] no es de rango columna completo.

Dudas
_ La parte a) y b) ya las probé.
_ Para la parte c) no hay problema pues el Teorema 13.3  dice

  [texx]A[/texx] matrix cuadrada definida positiva entonces existe matriz triangular superior [texx]R[/texx] tal que [texx]A=R^{T}R[/texx]

_ Lo que no consigo es como llegar a la parte c) i.e probar que Q es único ni tampoco la parte d).

Algo que utilizo cuando una matriz es full rank es lo siguiente:

Si [texx]A[/texx] es full rank si [texx]Ax=0[/texx] entonces [texx]x=0[/texx]

Muchas gracias por la ayuda.

Saludos!
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el_manco
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« Respuesta #1 : 17/07/2017, 05:14:53 am »

Hola

Buenas a todos. Estoy usando el libro Numerical Linear Algebra with Applications de William Ford.

Y el problema dice de la siguiente manera:(Problema 17.13)

Sea [texx]A\in \mathbb{ K}^{n\times n}[/texx] que tiene  rango columna completo.
Probar que la descomposición [texx]A=QR[/texx] es única haciendo lo siguientes pasos.

a)[texx]A^{T}A=R^{T}R[/texx].
b)[texx]A^{T}A[/texx] es simétrica definida positiva.
c)Mostrar que existe[texx] R[/texx] único factor de [texx]A^{T}A[/texx] usando teorema 13.3.
d)Mostrar que [texx]Q[/texx] es único.
e)Mostrar que no existe unicidad si [texx]A[/texx] no es de rango columna completo.

Dudas
_ La parte a) y b) ya las probé.
_ Para la parte c) no hay problema pues el Teorema 13.3  dice

  [texx]A[/texx] matrix cuadrada definida positiva entonces existe matriz triangular superior [texx]R[/texx] tal que [texx]A=R^{T}R[/texx]

_ Lo que no consigo es como llegar a la parte c) i.e probar que Q es único ni tampoco la parte d).

Si la matriz tiene rango máximo, significa que es inversible y entonces también es [texx]R[/texx] inversible. Por tanto:

[texx]A=QR\quad \Rightarrow{}\quad Q=AR^{-1}[/texx]

Entonces la unicidad de [texx]R[/texx] implica la unicidad de [texx]Q[/texx].

En cuanto a la NO unicidad si el rango no es máximo, por ejemplo si [texx]A=0[/texx] tomando [texx]R=0[/texx], cualquier matriz ortogonal [texx]Q[/texx] es válida.

Saludos.

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