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Autor Tema: cantidad de soluciones de un sistema lineal  (Leído 71 veces)
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Arturo Gómez
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« : 13/07/2017, 12:09:02 pm »

Estoy con dificultad para encontrar material que me permita calcular la cantidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales del tipo
Mx = 0 (mod 1), donde M es matriz 2 x 2 y x vector.

Busqué por ecuaciones diofantinas pero no encontré nada

Gracias
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« Respuesta #1 : 13/07/2017, 09:23:27 pm »

Hola:
Estoy con dificultad para encontrar material que me permita calcular la cantidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales del tipo
Mx = 0 (mod 1), donde M es matriz 2 x 2 y x vector.

Busqué por ecuaciones diofantinas pero no encontré nada

Gracias

Lo primero es que si es un sistema homogéneo al menos la solución [texx](0,0)[/texx], siempre la tienes, por tanto se trata de un sistema compatible.

Será indeterminado si [texx]det(M)=0[/texx] y determinado en caso contrario.

Si es compatible indeterminado tenemos solo una ecuación [texx]ax+by=0[/texx]

La solución será [texx]x=-bt[/texx] e [texx]y=at[/texx]

Saludos.

P.D.: entiendo que los elementos de la matriz [texx]M[/texx] son enteros.
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Arturo Gómez
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« Respuesta #2 : 14/07/2017, 10:43:28 am »

La dificultad no está en la solución de Mx = 0 sino en el hecho de que sean 0 módulo 1, es decir, Mx es un vector de coordenadas enteras, donde x es un vector cuyas coordenadas están entre 0 y 1.  Entonces hay varias soluciones, ya que por ejemplo (en dimensión 1)si multiplico n x k/n con k variando entre 0 y n - 1 tengo n soluciones para la ecuación nx = k (mod 1)
Sí, a mano se pueden encontrar soluciones por los métodos clásicos, lo que estoy buscando es alguna fórmula que me permita determinar la cantidad de soluciones posibles para un sistema que no sea de dimensión 1.
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Arturo Gómez
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« Respuesta #3 : 14/07/2017, 03:51:36 pm »

Acabo de encontrar la solución en el libro de Katok sobre Sistemas Dinámicos, página 45.
Lo comparto porque puede acabar sirviendo, es buen ejercicio para mí escribirlo, y eventualmente para otros leerlo y corregir si es que tiene algo errado.

Tenemos 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas y sabemos que las soluciones tienen que ser enteras.
Las incógnitas están en [0,1] x [0,1].
La cantidad de números de coordenadas enteras en la imagen del [0,1]x[0,1] por M es igual al valor absoluto del determinante de M.

(el teorema de Pick que encontré que relaciona área con puntos de coordenadas enteras es algo diferente, de cualquier modo ofrece una herramienta teórica para calcular la cantidad de soluciones)
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