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Autor Tema: adjunto de un operador  (Leído 167 veces)
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Iziro
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« : 13/07/2017, 08:47:32 am »


3) Calcular el adjunto


[texx]A:L_2[0,1]\to L_2[0,1], \ \ (Ax)(t)=\displaystyle\int_{t}^{1}cos(t-s)x(s^3)ds[/texx]


[texx]\left<{(Ax)(t),y(t)}\right>=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{t}^{1}cos(t-s)x(s^3)y(t)ds dt=\displaystyle\int_{0}^{1}x(s^3)\displaystyle\int_{s}^{1}cos(t-s)y(t)dt ds[/texx]

Haciendo el cambio [texx]s^3=u[/texx] queda
[texx]=\displaystyle\int_{0}^{1}x(u) \displaystyle\frac{1}{3u^{2/3}}\displaystyle\int_{\sqrt[3]{u}}^{1}cos(t-\sqrt[3]{u})y(t)dt du[/texx]


Por lo tanto  [texx](A^*y)(t)=\displaystyle\frac{1}{3u^{2/3}}\displaystyle\int_{\sqrt[ 3]{t}}^{1}cos(t-\sqrt[3]{u})y(t) dt[/texx]

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17/07/2017, 06:20:05 am »


3) Calcular el adjunto


[texx]A:L_2[0,1]\to L_2[0,1], \ \ (Ax)(t)=\displaystyle\int_{t}^{1}cos(t-s)x(s^3)ds[/texx]


[texx]\left<{(Ax)(t),y(t)}\right>=\color{red}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{t}^{1}cos(t-s)x(s^3)y(t)ds dt=\displaystyle\int_{0}^{1}x(s^3)\displaystyle\int_{s}^{1}cos(t-s)y(t)dt ds\color{black}[/texx]

Haciendo el cambio [texx]s^3=u[/texx] queda
[texx]=\displaystyle\int_{0}^{1}x(u) \displaystyle\frac{1}{3u^{2/3}}\displaystyle\int_{\sqrt[3]{u}}^{1}cos(t-\sqrt[3]{u})y(t)dt du[/texx]


Por lo tanto  [texx](A^*y)(t)=\displaystyle\frac{1}{3u^{2/3}}\displaystyle\int_{\sqrt[ 3]{t}}^{1}cos(t-\sqrt[3]{u})y(t) dt[/texx]

Tienes mal hecho el cambio de orden de los límites de integración.

Si [texx]0\leq t\leq 1[/texx] y [texx]t\leq s\leq 1[/texx] entonces [texx]0\leq s\leq 1[/texx] y [texx]0\leq t\leq s[/texx].

Saludos.
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Iziro
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« Respuesta #2 : 20/07/2017, 01:41:59 am »

Gracias ya lo he hecho.
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