3) Calcular el adjunto
[texx]A:L_2[0,1]\to L_2[0,1], \ \ (Ax)(t)=\displaystyle\int_{t}^{1}cos(t-s)x(s^3)ds[/texx]
[texx]\left<{(Ax)(t),y(t)}\right>=\color{red}\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{t}^{1}cos(t-s)x(s^3)y(t)ds dt=\displaystyle\int_{0}^{1}x(s^3)\displaystyle\int_{s}^{1}cos(t-s)y(t)dt ds\color{black}[/texx]
Haciendo el cambio [texx]s^3=u[/texx] queda
[texx]=\displaystyle\int_{0}^{1}x(u) \displaystyle\frac{1}{3u^{2/3}}\displaystyle\int_{\sqrt[3]{u}}^{1}cos(t-\sqrt[3]{u})y(t)dt du[/texx]
Por lo tanto [texx](A^*y)(t)=\displaystyle\frac{1}{3u^{2/3}}\displaystyle\int_{\sqrt[ 3]{t}}^{1}cos(t-\sqrt[3]{u})y(t) dt[/texx]
Tienes mal hecho el cambio de orden de los límites de integración.
Si [texx]0\leq t\leq 1[/texx] y [texx]t\leq s\leq 1[/texx] entonces [texx]0\leq s\leq 1[/texx] y [texx]0\leq t\leq s[/texx].
Saludos.
