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Autor Tema: Prueba que si \(\;\;\;z\;\;\;\) es raíz de \(\;\;\;P(z),\;\bar{z}\;\;\) tambien.  (Leído 219 veces)
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« : 13/07/2017, 07:21:10 am »



Prueba que si una ecuación polinómica con coeficientes reales admite una raíz compleja,    [texx]z[/texx],

entonces también admite como raíz a    [texx]\bar{z}[/texx].    Da un ejemplo de una ecuación polinómica de grado mayor

que    [texx]1[/texx]    que tenga como raíz compleja    [texx]1+i[/texx]    pero no admita como raíz a    [texx]1-i[/texx].



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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/07/2017, 07:27:10 am »

Hola

 La primera parte la tienes aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=96780.msg388727#msg388727

 Para la segunda parte puedes construir un polinomio de grado dos con las raíces [texx]z_1,z_2[/texx] que tu quieras tomando:

 [texx]p(z)=(z-z_1)(z-z_2)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 13/07/2017, 09:25:24 pm »


!Ya ni me acordaba! Gracias.


Para la segunda parte puedes construir un polinomio de grado dos con las raíces [texx]z_1,z_2[/texx] que tu quieras tomando:

 [texx]p(z)=(z-z_1)(z-z_2)[/texx]

Saludos.


Gracias. A ver si te refieres a esto:

Suponemos que    [texx]z_1[/texx]    y    [texx]z_2[/texx]    son raíces arbitrarias de un polinomio de coeficientes reales   [texx]P(z),\;z\in{\mathbb{C}}[/texx],    de

grado dos y lo construimos,


[texx]\begin{array}{cccccc}(z-z_1)(z-z_2)&=&z^2-zz_2-zz_1+z_1z_2&=&0\end{array},[/texx]



si ahora además suponemos, por ejemplo, que    [texx]z_1=1+i[/texx]    y conjugamos el polinomio,


[texx]\bar{z}^2-\bar{z}\bar{z_2}-\bar{z}\overline{(1+i)}+\overline{(1+i)}\bar{z_2}=\bar{0}[/texx],

[texx]\bar{z}^2-\bar{z}\bar{z_2}-\bar{z}(1-i)+(1-i)\bar{z_2}=0[/texx],


resulta que, por fuerza,    [texx]1-i[/texx],    ha de ser también raíz del polinomio.

Es trivial extenderlo a polinomios de grados impares.

Un polinomio de grado tres que admita una raíz compleja también tiene a su conjugada por raíz.

La tercera, o es real, o no existe o es compleja e igual a alguna de las anteriores ya que obliga a su conjugada a serlo.

Creo que con esto queda extendido a cualquier polinomio    [texx]P(z),\;z\in{\mathbb{C}}[/texx]    de cualquier grado    [texx]n\in{\mathbb{N}},\;n\geq{2}[/texx]    con

coeficientes reales.

Conclusión:

No es posible dar el ejemplo que pide la segunda parte del ejercicio planteado.


Un saludo.
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robinlambada
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« Respuesta #3 : 14/07/2017, 04:04:47 am »

Hola:

Suponemos que    [texx]z_1[/texx]    y    [texx]z_2[/texx]    son raíces arbitrarias de un polinomio de coeficientes reales   [texx]P(z),\;z\in{\mathbb{C}}[/texx],    de

grado dos y lo construimos,


[texx]\begin{array}{cccccc}(z-z_1)(z-z_2)&=&z^2-zz_2-zz_1+z_1z_2&=&0\end{array},[/texx]



si ahora además suponemos, por ejemplo, que    [texx]z_1=1+i[/texx]    y conjugamos el polinomio,


[texx]\bar{z}^2-\bar{z}\bar{z_2}-\bar{z}\overline{(1+i)}+\overline{(1+i)}\bar{z_2}=\bar{0}[/texx],

[texx]\bar{z}^2-\bar{z}\bar{z_2}-\bar{z}(1-i)+(1-i)\bar{z_2}=0[/texx],


resulta que, por fuerza,    [texx]1-i[/texx],    ha de ser también raíz del polinomio.
No, la conclusión que sacas es falsa, fijate que NO es una ecuación con coeficientes reales, [texx]z_1 [/texx]  y  [texx]z_2 [/texx]  son complejos. además de:

Cita
Suponemos que    [texx]z_1[/texx]    y    [texx]z_2[/texx]    son raíces arbitrarias de un polinomio de coeficientes reales   [texx]P(z),\;z\in{\mathbb{C}}[/texx],    de

grado dos y lo construimos,


[texx]\begin{array}{cccccc}(z-z_1)(z-z_2)&=&z^2-zz_2-zz_1+z_1z_2&=&0\end{array},[/texx]


Si   [texx]z_1[/texx]    y    [texx]z_2[/texx]    son raíces arbitrarias del  polinomio


[texx]\begin{array}{cccccc}(z-z_1)(z-z_2)&=&z^2-zz_2-zz_1+z_1z_2&=&0\end{array},[/texx]


Es fácil ver que los coeficientes NO son reales sino complejos, desarrollando paréntesis como haces tú [texx]-(z_2+z_1),z_2\cdot{}z_1\in{\mathbb{C}}[/texx]

Además por ser un polinomio de grados 2 tiene solo 2 raíces complejas [texx]z_1   [/texx]   y   [texx]z_2[/texx].

Cita
Conclusión:

No es posible dar el ejemplo que pide la segunda parte del ejercicio planteado.

Esto es falso. basta sustituir en [texx]P(z)[/texx]    [texx]z_1=1+i[/texx]  y  [texx]z_2\neq{}1-i[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 14/07/2017, 07:23:44 am »

Hola:

Suponemos que    [texx]z_1[/texx]    y    [texx]z_2[/texx]    son raíces arbitrarias de un polinomio de coeficientes reales

[texx]P(z),\;z\in{\mathbb{C}}[/texx],    de grado dos y lo construimos,


[texx]\begin{array}{cccccc}(z-z_1)(z-z_2)&=&z^2-zz_2-zz_1+z_1z_2&=&0\end{array},[/texx]



si ahora además suponemos, por ejemplo, que    [texx]z_1=1+i[/texx]    y conjugamos el polinomio,


[texx]\bar{z}^2-\bar{z}\bar{z_2}-\bar{z}\overline{(1+i)}+\overline{(1+i)}\bar{z_2}=\bar{0}[/texx],

[texx]\bar{z}^2-\bar{z}\bar{z_2}-\bar{z}(1-i)+(1-i)\bar{z_2}=0[/texx],


resulta que, por fuerza,    [texx]1-i[/texx],    ha de ser también raíz del polinomio.
No, la conclusión que sacas es falsa, fijate que NO es una ecuación con coeficientes reales, [texx]z_1 [/texx]  y  [texx]z_2 [/texx] son complejos. además de:


Oh,oh,oh. Gracias. Vamos por partes.

¿El planteamiento del ejercicio es correcto?    Porque ahí dice: "...si una ecuación polinómica con coeficientes reales

admite una raíz compleja...".

Algo no entiendo. Dando por demostrado que, si admite una raíz compleja, por fuerza, también es raíz su conjugada,

y te creo cuando dices:


Es fácil ver que los coeficientes NO son reales sino complejos, desarrollando paréntesis como haces tú [texx]-(z_2+z_1),z_2\cdot{}z_1\in{\mathbb{C}}[/texx]


----------------------x--------------------


Además por ser un polinomio de grados 2 tiene solo 2 raíces complejas [texx]z_1   [/texx]   y   [texx]z_2[/texx].

Cita
Conclusión:

No es posible dar el ejemplo que pide la segunda parte del ejercicio planteado.

Esto es falso. basta sustituir en [texx]P(z)[/texx]    [texx]z_1=1+i[/texx]  y  [texx]z_2\neq{}1-i[/texx]

Saludos.

Aquí discrepo. Podrían ser reales. Si sustituyo, como dices en    [texx]P(z)[/texx]    [texx]z_1=1+i[/texx],    puedo hacerlo,    [texx]z_1[/texx]    y    [texx]z_2[/texx]

son arbitrarias. Pero si ahora conjugo el polinomio me encuentro con que su conjugada también es solución. Como

bien dices sólo puede tener dos raíces. Si supongo ahora que    [texx]z_2\neq{1-i}[/texx]    ya estoy suponiendo que tiene al menos

tres. ¿no? Es decir, una vez elegida la primera raíz en esa forma, para la segunda ya no hay arbitrariedad.

(Suponemos en todo caso demostrado que si un polinomio admite una raíz compleja entonces también es raíz su

conjugada.)


Un saludo y gracias.
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« Respuesta #5 : 14/07/2017, 05:18:24 pm »

Hola, pero la clave es precisamente que es una ecuación con coeficientes complejos la que te ha propuesto el_manco y tu has utilizado.

Estás confundiendo un resultado que es válido para ecuaciones con coeficientes reales, para coeficientes complejos no es cierto.

Es decir solo se dan las raíces complejas conjugadas para ecuaciones algebraicas con coeficientes reales.

Que no es el caso que nos ocupa.

Por ejemplo resuelveme esta ecuación.

[texx](z-1-i)(z-1)=0[/texx] , las soluciones son evidentes [texx]z_1=1+i[/texx] y [texx]z_2=1[/texx]

Saludos.

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