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Autor Tema: Cociente de funciones continuas  (Leído 212 veces)
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Iziro
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« : 13/07/2017, 04:15:43 am »

Si tengo  [texx]C[0,1][/texx] y [texx]M=\{x:x(1-1/n)=0 \forall n\in\mathbb N\}[/texx] calcular el espacio [texx]X/M[/texx].


Propongo que [texx]X/M[/texx] es isomorfo a [texx]l_\infty[/texx] propongo el siguiente isomorfismo

[texx]T:X/M\to l_\infty, \  \ f+M\mapsto (f(1-1/n))[/texx]

[texx]T[/texx] esta bien definida precisamente por la defincion de [texx]M[/texx] dos elementos de una misma clase son iguale en los puntos [texx]1-1/n[/texx].

Pero no se como probar que [texx] \left\|{T(f+M)}\right\|= \left\|{f+M}\right\|[/texx]

 Espero puedan darme una idea de si es cierto que esos espacios son isomorfos

Gracias.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/07/2017, 06:11:50 am »

Hola

Si tengo  [texx]C[0,1][/texx] y [texx]M=\{x:x(1-1/n)=0 \forall n\in\mathbb N\}[/texx] calcular el espacio [texx]X/M[/texx].


Propongo que [texx]X/M[/texx] es isomorfo a [texx]l_\infty[/texx] propongo el siguiente isomorfismo

[texx]T:X/M\to l_\infty, \  \ f+M\mapsto (f(1-1/n))[/texx]

[texx]T[/texx] esta bien definida precisamente por la defincion de [texx]M[/texx] dos elementos de una misma clase son iguale en los puntos [texx]1-1/n[/texx].

Pero no se como probar que [texx] \left\|{T(f+M)}\right\|= \left\|{f+M}\right\|[/texx]

 Espero puedan darme una idea de si es cierto que esos espacios son isomorfos

No está del todo mal la idea. El problema es si la aplicación es sobreyectiva; es decir si dada cualquier sucesión acotada [texx]\{x_n\}[/texx] existe una función continua [texx]x:[0,1]\to \mathbb{R}[/texx] tal que [texx]x(1-1/n)=a_n[/texx].

La respuesta es... ¡no!. Por ser [texx]x[/texx] continua:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n=
\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x(1-1/n)=x(1)[/texx]

y por tanto la sucesión no llega con que sea acotada, sino que debe de ser convergente.

Por tanto el buen candidato para el isomorfismo es el espacio [texx]c[/texx] de sucesiones convergentes.

A la hora de plantear no solo el isomorfismo como espacio vectorial, sino también como espacio normado. ¿Qué norma estás considerando en [texx]C[0,1][/texx]?.

Saludos.
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Iziro
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« Respuesta #2 : 13/07/2017, 08:25:34 am »

La norma  del supremo
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 17/07/2017, 05:22:20 am »

Hola

La norma  del supremo

Bien. Ten en cuenta que por definición:

[texx]\|f+M\|=inf\{\|f+m\|_{\infty}|m\in M\}[/texx]

Es claro que:

[texx]\|T(f+m)\|_\infty\leq \|f+M\|[/texx]

Ahora ten en cuenta que dada [texx]\{x_n\}\in c[/texx], puedes construrrse una función continua (una poligonal, por ejemplo), tal que [texx]f(1-1/n)=x_n[/texx] y [texx]\|f\|_\infty=\|\{x_n\}\|_\infty[/texx].

Saludos.
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