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Autor Tema: Operadores adjuntos y compactos  (Leído 64 veces)
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Iziro
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« : 12/07/2017, 10:47:50 pm »

Pongo varios ejercicios de calcular adjuntos y ver si son compactos.
Los pongo en un mismo hilo porque son basicamente problemas de la misma ìndole.

 
1)  Calcular si es acotoad y el adjunto y ver si es compacto o no


Pide calcular la norma pero no se como y tampoco para ver si es compacto
Supongo que es acotado y saco el adjunto asì

[texx]T:L_2[0,1]\to \mathbb C, \ \ T(f)=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x/2)e^x dx[/texx]

El conjunto [texx]\{e_n(x)=e^{2\pi i n x}\}_{n \in \mathbb N}[/texx] es un base de [texx]L_2[/texx].

[texx]\left<{T(e_n(x),1_\mathbb C)}\right>=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{\pi i n x}e^x dx=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{2\pi i n x}e^{-\pi i n x}e^x dx=\left<{e_n(x),T^*(1_\mathbb C)}\right>[/texx]

Como esto es valido para una base entonces es valido para todo elemento y asi  [texx]T^*(1_\mathbb C)=e^{\pi i n x}e^x[/texx] esto implica que  [texx]T^*(z)=ze^{\pi i n x}e^x[/texx] para cualquier [texx]z\in\mathbb C[/texx].

Es correcto todo lo que hice?
Espero alguna ayuda para los pasos restantes

Muchas gracias
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el_manco
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« Respuesta #1 : 13/07/2017, 07:24:35 am »

Hola

1)  Calcular si es acotoad y el adjunto y ver si es compacto o no


Pide calcular la norma pero no se como y tampoco para ver si es compacto
Supongo que es acotado y saco el adjunto asì

[texx]T:L_2[0,1]\to \mathbb C, \ \ T(f)=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x/2)e^x dx[/texx]

El conjunto [texx]\{e_n(x)=e^{2\pi i n x}\}_{n \in \mathbb N}[/texx] es un base de [texx]L_2[/texx].

[texx]\left<{T(e_n(x),1_\mathbb C)}\right>=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{\pi i n x}e^x dx=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{2\pi i n x}e^{-\pi i n x}e^x dx=\left<{e_n(x),T^*(1_\mathbb C)}\right>[/texx]

Como esto es valido para una base entonces es valido para todo elemento y asi  [texx]T^*(1_\mathbb C)=e^{\pi i n x}e^x[/texx] esto implica que  [texx]T^*(z)=ze^{\pi i n x}e^x[/texx] para cualquier [texx]z\in\mathbb C[/texx].

Pero no entiendo. Defines un adjunto donde aparece un [texx]n[/texx] al que no veo sentido.

Fíjate que:

[texx]<Tf,1>=\displaystyle\int_{0}^{1}\bar f(x/2)e^xdx=\displaystyle\int_{0}^{1/2}2\bar f(u)e^{2u}du[/texx]

Queremos que coincida con:

[texx]<f,T^*1>=\displaystyle\int_{0}^{1}\bar f(x)(T^*1)xdx[/texx]

Pero:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1/2}2\bar f(u)e^{2u}du=\displaystyle\int_{0}^{1}2\bar f(u)I_{[0,1/2]}(u)e^{2u}du[/texx]

 donde [texx]I_A[/texx] es la función indicatriz en el conjunto [texx]A.[/texx]

Por tanto:

[texx](T^*1)(x)=2I_{[0,1/2]}(x)e^{2x}[/texx]

Saludos.

P.D. Mejor un ejercicio en cada hilo, aunque sean parecidos. 
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Iziro
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« Respuesta #2 : 13/07/2017, 10:20:46 am »

Ohh ya

Entonces de aca se concluye que la norma de [texx]T[/texx] es  [texx]\left\|{ 2I_{[0,1/2]}(x)e^{2x}}\right\|_2 [/texx] por el teorema de representacion de Riesz
correcto?
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el_manco
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« Respuesta #3 : 17/07/2017, 05:46:17 am »

Hola

Ohh ya

Entonces de aca se concluye que la norma de [texx]T[/texx] es  [texx]\left\|{ 2I_{[0,1/2]}(x)e^{2x}}\right\|_2 [/texx] por el teorema de representacion de Riesz
correcto?

Bien.

Saludos.
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