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Autor Tema: Criterio de la Integral  (Leído 158 veces)
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Albersan
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« : 09/07/2017, 09:46:33 pm »

Hola, ¿que tal?

Quisiera analizar el test de la integral para series, por que tengo algunas dudas.

Si [texx]f(x)[/texx] es decreciente y positiva en [texx][a,+\infty)[/texx] donde [texx]a \in{\mathbb{N}}[/texx], entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx] converge, sí y sólo sí [texx]\displaystyle\sum_{n=a}^{\infty}{f(n)}[/texx]   converge.

- Las funciones [texx]F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}{f}[/texx]    y    [texx]S_n=\displaystyle\sum_{k=a}^{n}{f(k)}[/texx]    son funciones crecientes en [texx]x[/texx] y [texx]n[/texx] respectivamente.

[texx]f[/texx] es decreciente en [texx][a,+\infty)[/texx] por lo tanto, como es monótona es integrable en cualquier subintervalo de este intervalo (bueno la verdad que el teorema también traía la restricción de que [texx]f[/texx] fuera continua en este intervalo, así que de todas formas la función debiera ser integrable en todo subintervalo de [texx][a,+\infty)[/texx]).   

Sea [texx]k\geq{a}[/texx] entero. Si se tiene que [texx]x\in{[k,k+1]}[/texx] entonces [texx]f(k+1)\leq{f(x)\leq{f(k)}}[/texx] entonces como [texx]f[/texx] es integrable en cualquier subintervalo tenemos que [texx]\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f(k+1)}\leq{\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f(x) dx}}\leq{\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f(k)}}[/texx]     o     [texx]f(k+1)\leq{\displaystyle\int_{k}^{k+1}}{f(x) dx}\leq{f(k)}[/texx]     para todo [texx]k\geq{a}[/texx].


Sumando desde [texx]a[/texx]     a       [texx]n\geq{a}[/texx]     tenemos que     [texx]\displaystyle\sum_{k=a}^n{f(k+1)}\leq{\displaystyle\sum_{k=a}^n{\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f}}}\leq{\displaystyle\sum_{k=a}^n{f(k)}}[/texx]   o    [texx]\displaystyle\sum_{k=a+1}^{n+1}{f(k)}\leq{\displaystyle\int_{a}^{n+1}}{f}\leq{\displaystyle\sum_{k=a}^n{f(k)}}[/texx]    o   [texx]S_{n+1}-f(a)\leq{F(n+1)}\leq{S_n}[/texx]     para todo [texx]n\geq{a}[/texx].


Supongamos que [texx]I=\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx]   existe.    Entonces la sucesión de sumas parciales [texx]F(n+1)\leq{I}[/texx]  (para todo [texx]n\geq{a}[/texx])    debido a que dado cualquier real [texx]x[/texx], [texx]F(x)\leq{I}[/texx] para todo [texx]x[/texx] por ser una función creciente.

Ahora, la sucesión de sumas parciales [texx]S_{n+1}-f(a)[/texx], tiene cota superior [texx]I[/texx] debido a que [texx]S_{n+1}-f(a)\leq{I}[/texx] para todo [texx]n\geq{a}[/texx].    Es decir,
[texx]S_{n}\leq{S_{n+1}\leq{I+f(a)}}[/texx]    (por tener la serie sólo términos positivos). Entonces [texx]S_n[/texx] es creciente y acotada superiormente por lo que la serie de términos positivos debe converger. Así, si [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx] converge, entonces [texx]\displaystyle\sum_{k=a}^{\infty}{f(k)}[/texx]  converge.


Por otro lado, si [texx]S=\displaystyle\sum_{k=a}^{\infty}{f(k)}[/texx], entonces [texx]F(n+1)\leq{S_n}\leq{S}[/texx]    para todo [texx]n\geq{a}[/texx] (debido a que [texx]S_n[/texx] es una sucesión de sumas parciales de términos positivos).   Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales [texx]F(n+1)[/texx] está acotada superiormente. Puesto que [texx]F(\lfloor x \rfloor+1)\leq{S}[/texx] para todo [texx]x\geq{a}[/texx], tenemos que [texx]F(x)\leq{F(\lfloor x \rfloor+1)}[/texx]. [texx]F(x)[/texx] es integrable para cualquier [texx]x\geq{a}[/texx] creciente y acotada superiormente por [texx]S[/texx] así, debe converger. Así si, [texx]\displaystyle\sum_{k=a}^{\infty}{f(k)}[/texx]  converge, entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx] converge.

Disculpen por lo extenso. Por favor me pueden indicar los errores.


Muchísimas gracias.
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el_manco
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« Respuesta #1 : 10/07/2017, 05:48:32 am »

Hola

 Yo creo que está bien.

Saludos.
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Albersan
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« Respuesta #2 : 11/07/2017, 10:06:22 pm »

Muchísimas gracias.

Saludos.
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Albersan
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« Respuesta #3 : 17/07/2017, 12:09:26 am »

Hola:

Quisiera hacer la pregunta inversa, para tener claros los conceptos.

[texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx] diverge si y sólo si [texx]\displaystyle\sum_{n=a}^{\infty}{f(n)}[/texx] diverge.

Si [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx] diverge y sea [texx]F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}{f(t) dt}[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=+\infty[/texx], como [texx]F(x)[/texx], está definida para todo [texx]n\geq{a}\in{\mathbb{N}}[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F(n)}=+\infty[/texx], así la sucesión [texx]F(n)[/texx] no tiene cota superior, por lo tanto la sucesión [texx]\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{F(n+1)}=+\infty[/texx] (tampoco hay cota superior para esta sucesión de sumas parciales). Entonces [texx]\displaystyle\sum_{k=a}^\infty{\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f}}[/texx] diverge a [texx]+\infty[/texx]. Como [texx]\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f}\leq{f(k)}[/texx] ambas positivas para todo [texx]k\geq{a}[/texx]. De ahí que [texx]\displaystyle\sum_{k=a}^\infty{f(k)}[/texx] diverge.


Por otro lado, si [texx]\displaystyle\sum_{n=a}^{\infty}{f(n)}[/texx] diverge. [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{S_n}=+\infty[/texx], por lo tanto la sucesión [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{S_{n+1}}=+\infty[/texx]. La sucesión [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{S_{n+1}-f(a)}=+\infty[/texx]. Como [texx]S_{n+1}-f(a)[/texx] es una serie de términos positivos que diverge y [texx]f(k+1)\leq{\displaystyle\int_{k}^{k+1}f}[/texx] para todo [texx]k\geq{a}[/texx], entonces [texx]F(n+1)[/texx] también diverge.

Como [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F(n+1)}=+\infty[/texx],              [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F(n)}=+\infty[/texx]


De esto último, dado [texx]L>0[/texx], existe [texx]M>0[/texx] tal que si [texx]n\geq{M}[/texx] implica [texx]F(n)>L[/texx].

Suponga [texx]x>M[/texx], para cualquiera de estos [texx]x[/texx], existe un entero [texx]N[/texx] con la propiedad [texx]N\leq{x\leq{N+1}}[/texx]     y
 
[texx]F(N)>L[/texx],   como  [texx]F(x)[/texx]   es creciente   [texx]L<F(N)\leq{F(x)}[/texx]   y    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=+\infty[/texx]    y así    [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}f[/texx] diverge.



Por favor, agradecido de cualquier comentario.

Muchísimas gracias.
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ilarrosa
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« Respuesta #4 : 17/07/2017, 04:07:58 am »

Hola:

Quisiera hacer la pregunta inversa, para tener claros los conceptos.

[texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f}[/texx] diverge si y sólo si [texx]\displaystyle\sum_{n=a}^{\infty}{f(n)}[/texx] diverge.

Con las mismas hipótesis que antes: [texx]f(x)[/texx] decreciente y positiva. Convendría precisar dónde se usan estas hipótesis a lo largo de la demostración, que por lo demás creo que es correcta.

Saludos,

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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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« Respuesta #5 : 20/07/2017, 02:10:13 am »

Hola:

Quisiera señalar que cometí un error en no agregar a las hipótesis de positividad y monotonía, la de continuidad. Me guié por un teorema que establece que si una función es monótona en un intervalo cerrado, entonces es integrable Riemann en ese intervalo.


Tuve que agregarla porque me surgieron las siguientes dudas:

                       1) no sé qué características tiene la integral de una función monótona.
                       2) la función monótona puede tener discontinuidades, por tanto no sé si afecta la continuidad de la integral.
                       3) de tener discontinuidades en el intervalo cerrado, “cuántas” se permiten.

A raíz de ésto, la continuidad me garantiza que [texx]F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}{f(t) dt}[/texx] sea continua (por ser derivable según Teorema Fundamental del Cálculo).

Refiriéndome a lo que me señala ilarrosa,

Si [texx]f(x): [a,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] es integrable (continua) y no negativa en [texx][a,t][/texx] para todo [texx]t\geq{a}[/texx] entonces [texx]F(t)=\displaystyle\int_{a}^{t}{f(x) dx}[/texx] es creciente en [texx][a,+\infty)[/texx].


Por lo tanto, para funciones no negativas la integral [texx]\displaystyle\int_{a}^{+\infty}{f}[/texx] sólo puede ser convergente ([texx]F(t)[/texx] acotada) o divergente (sin cota y con comportamiento hacia [texx]+\infty[/texx]).

Algo parecido ocurre con [texx]f(k)[/texx] para series. Si [texx]f(k)[/texx] es positiva para todo [texx]k\geq{a}[/texx], la sucesión de sumas parciales es creciente, por lo tanto para funciones no negativas (o elementos), [texx]S_n=\displaystyle\sum_{i=a}^n{f(k)}[/texx] o está acotada para todo [texx]n[/texx] y converge a su mínima cota superior, o [texx]S_n[/texx] no está acotada y diverge a [texx]+\infty[/texx].


Otra parte en donde se usan las hipótesis, es en el criterio de comparación:

[texx]\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f(k+1) dx}\leq{\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f(x) dx}\leq{\displaystyle\int_{k}^{k+1}{f(k) dx}}}[/texx]

Las desigualdades se deben a que [texx]f(x)[/texx] es decreciente.

La continuidad implica la integrabilidad en el intervalo cerrado [texx][k,k+1][/texx].



Espero estar en lo correcto.

Muchísimas gracias.

Saludos.
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ilarrosa
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« Respuesta #6 : 20/07/2017, 05:55:14 am »

Hola:

Quisiera señalar que cometí un error en no agregar a las hipótesis de positividad y monotonía, la de continuidad. Me guié por un teorema que establece que si una función es monótona en un intervalo cerrado, entonces es integrable Riemann en ese intervalo.


Tuve que agregarla porque me surgieron las siguientes dudas:

                       1) no sé qué características tiene la integral de una función monótona.
                       2) la función monótona puede tener discontinuidades, por tanto no sé si afecta la continuidad de la integral.
                       3) de tener discontinuidades en el intervalo cerrado, “cuántas” se permiten.

A raíz de ésto, la continuidad me garantiza que [texx]F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}{f(t) dt}[/texx] sea continua (por ser derivable según Teorema Fundamental del Cálculo).

Para que la integral exista de una función acotada exista en el sentido de Riemann, y sea continua, es necesario y suficiente que el conjunto de puntos de discontinuidad tenga medida cero. Esto es más permisivo que que sea finito o incluso numerable.

Para el criterio integral de convergencia entiendo que puede relajarse la continuidad, sustituyendola por el decrecimiento global en [texx][a, \infty)[/texx], y no solo en el interior de cada uno de los subintervalos en que sea continua.

Refiriéndome a lo que me señala ilarrosa,

En realidad se puede ver de una sola vez ambas cosas, que la integral y la serie tienen el mismo carácter convergente o divergente, pues puedes acotar la integral de en [a, M] entre dos sumas parciales sucesivas, y cualquier suma parcial entre dos integrales cuyos límites superiores se diferencian en una unidad.

Saludos,
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« Respuesta #7 : 21/07/2017, 08:29:55 pm »

Muchísimas gracias ilarrosa por sus comentarios.

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