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 > Matemática > Teoría de números > Tema: ¿Hay siempre primos entre n y 2n?
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Autor Tema: ¿Hay siempre primos entre n y 2n?  (Leído 2147 veces)
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Jchavez
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« : 07/07/2017, 11:02:32 am »
Hola, quisiera saber si entre n y 2n siempre hay un número primo, y si hay una formula que lo compruebe. Gracias.
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« Respuesta #1 : 07/07/2017, 11:33:26 am »
Hola Jchavez.

 El resultado es esencialmente cierto, puedes revisar la entrada del postulado de Bertrand de la Wikipedia para más información relacionada. Y puedes encontrar una prueba en este otro enlace de la Wikipedia.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 07/07/2017, 11:42:58 am »
Lo necesito para un trabajo..., Mmm, si pongo la formula de Erdos a secas prueba eso?, O necesita que el valor de x sea especial?
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« Respuesta #3 : 07/07/2017, 11:57:24 am »
 No se bien a qué valor de [texx]x[/texx] te refieres. El teorema que menciono en mi respuesta anterior no proporciona ninguna fórmula que nos de explicitamente un número primo entre [texx]n[/texx] y [texx]2n;[/texx] es un reaultado de existencia. Es decir, el teorema únicamente prueba que entre [texx]n[/texx] y [texx]2n[/texx] siempre existe por lo menos un número primo.

 En la primera prueba de la Wikipedia, usando los cuatro lemas que ahí se demuestran, se obtiene que si no existen primos entre [texx]n[/texx] y [texx]2n,[/texx] entonces [texx]n<468,[/texx] pero por simple inspección se puede comprobar que para valores menores que [texx]468[/texx] el resultado también es válido. Es decir, se procede por contradicción. La otra prueba es en el mismo sentido sólo que nos da una mejor cota para [texx]n.[/texx]

 Si tienes que exponer o presentar la prueba de este resultado, tal vez te sea conveniente buscar en la red alguna versión que seas capaz de entender, googlenado un poco tal vez des con alguna o puede que alguien más en el foro aporte alguna versión fácil de entender de la prueba.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 07/07/2017, 02:34:32 pm »
Cita de: Jchavez en 07/07/2017, 11:02:32 am
Hola, quisiera saber si entre n y 2n siempre hay un número primo, y si hay una formula que lo compruebe. Gracias.

Hola. Si no te piden demostración simplemente puedes decir "por el postulado de Bertrand siempre existe un primo entre "n" y "2n"; si bien hay que matizar que para n=1 no está "entre", porque entre 1 y 2 no hay otro natural, pero sí que el propio 2 es primo.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 07/07/2017, 05:39:01 pm »
Mm vale, gracias.

Tengo otra pregunta relaciona, más o menos parecida.

También aplica para saber si entre n y 2n-2 siempre hay primos?
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« Respuesta #6 : 07/07/2017, 06:46:55 pm »
Hola.
Cita de: Jchavez en 07/07/2017, 05:39:01 pm
Mm vale, gracias.

Tengo otra pregunta relaciona, más o menos parecida.

También aplica para saber si entre n y 2n-2 siempre hay primos?
Si para [texx]n>3[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #7 : 07/07/2017, 06:48:14 pm »
Muchas gracias a todos  Aplauso Aplauso
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« Respuesta #8 : 08/07/2017, 05:25:51 am »

También puedes añadir al trabajo esto si quieres:

Dado un intervalo desde cero hasta “n”, por el postulado habrá al menos un primo en [texx](\dfrac{n}{2},n)
 [/texx]

Si [texx]\dfrac{n}{4}\geq1
 [/texx] habrá al menos un primo entre [texx](\dfrac{n}{4},\dfrac{n}{2})
 [/texx]...

Y así, siempre habrá al menos uno entre un número y su doble, tomando la parte entera de [texx]\dfrac{n}{2^{k}}
 [/texx]

Por lo cual, si resuelves [texx]\dfrac{n}{2^{k}}=1
 [/texx], te dará la mayor potencia de “k” tal que será la cantidad mínima de primos que entran hasta “n” a partir del postulado de Bertrand:

[texx]n=2^{k}
 [/texx]

[texx]log(n)=k\cdot log(2)\Rightarrow k=\dfrac{log(n)}{log(2)}
 [/texx]

Por ejemplo, si n=8, [texx]k=\dfrac{log(8)}{log(2)}=3
 [/texx]; de donde se puede decir que si [texx]n\geq8
 [/texx] al menos entran tres primos.

Si lo haces para n=16, por ejemplo, verás que a partir de aquí entran al menos 4; y se va quedando cada vez más corto en la cantidad, porque van entrando más realmente a medida que “n” crece.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 17/07/2017, 08:10:49 am »
Buenas Tardes Feriva y JChavez....


Cita de: JChavez
Hola, quisiera saber si entre [texx]n[/texx] y [texx]2n[/texx] siempre hay un número primo, y si hay una formula que lo compruebe. Gracias.

• Como ya te explicaron, con tu consulta te estás refiriendo al "Postulado de Bertrand" donde en nuestra (actual) internet, encontrarás criterios demostrativos al respecto y si dispones de un poco de tiempo, realizarás un algoritmo y/o programa, que te verifique esto, hasta un rango corto, que satisfaga la duda inicial.
→ Como bien te decía Feriva,... Siendo [texx]n=1[/texx] se tiene el Rango (1,2) correspondiente a [texx](n,2n)[/texx] dándose los intervalos:  (0,1) y (1,2)  donde en el segundo intervalo, que es a donde apunta el Postulado de Bertrand [texx](1,2)[/texx] no hay naturales que puedan evaluarse como existencia y/o presencia de primos, de tal forma, que consideramos con [texx]n>1[/texx]


◘ Ahora bien,... este Postulado es medio-trivial, no queriendo decir, que no se cumpla, sino todo lo contrario, puesto que Bertrand, se aseguró que así fuera, mientras no tengamos una comprensión clara de la "Distribución de Números Primos",... y ante la falta de esto, voy a exponerte un criterio mas arriesgado que el de Bertrand, al que llamaremos:


POSTULADO de VICTOR LUIS.

Lema:
" Entre [texx]2n[/texx] y [texx]3n[/texx] existe por lo menos, un natural primo, con [texx]n>1[/texx] "




Spoiler (click para mostrar u ocultar)


• En el Spoiler observarás, que hasta [texx]n=499[/texx] para [texx](2n,3n)[/texx] se dan 70 naturales primos, y de continuar con la sucesión de [texx]n[/texx] se irán dando los naturales primos,... siendo interesante, si alguien nos diera un contraejemplo, que anule este pseudo-postulado.
→ Lo "arriesgado" de este criterio (llamado postulado) es que con Bertrand, para [texx]n=2[/texx] tenemos el segundo intervalo como [texx](2,4)[/texx] dándose en medio el natural sprimo "3". Ahora, considerando [texx]n=4[/texx] tenemos el segundo intervalo como [texx](4,8)[/texx] dándose los primos: {5,7}

• Mientras que con el Postulado de Victor Luis, para [texx]n=2[/texx] tenemos el intervalo [texx](4,6)[/texx] que es mas corto que el intervalo en Bertrand de [texx](4,8)[/texx] donde entre [texx](2n,3n)[/texx] se dá el natural primo "5" y en el Spoiler, verificarás, que para la demás sucesión de [texx]n[/texx] se irán dando naturales primos en [texx](2n,3n)[/texx] ... lo que a priori, podríamos decir, que evaluativamente, este pseudo-postulado se cumple.
→ Es dable que se cumple, ya que al inicio de la recta numérica, las observaciones que se hacen, son "realmente triviales" y mira que nos pasa a todos, el hacer afirmaciones precipitadas, como nos lo dicen, los famosos primos de Fermat (a quien admiro) ó como que nuestro matemático Marin Mersenne, nos dijera que [texx]2^{p}-1[/texx] con [texx]p[/texx] primo, es un natural primo y es que debemos reconocer, la ausencia de tecnología, en la época que vivían, nuestros admirados matemáticos, lo cual, con Feriva compartimos, el enorme placer, de analizar criterios, con lápiz y papel.


CONSIDERACIONES.

◘ En mi criterio personal, he conjeturado, que al avanzar en la recta numérica de naturales, se van dando, "secuencias de Saltos" donde un "Salto" es un rango y/o intervalo en la recta numérica, donde hay ausencia de naturales primos, considerándose que el rango, debe ser mayor [texx]k[/texx] "líneas de generación" dados en el Conjunto FV, para el cual tenemos que [texx]k=12[/texx] la constante de generación.

 A pesar de darse esto, en naturales de pocos digitos, la observación de los "Saltos" se aprecia mas claramente, a partir (aproximadamente) desde naturales de 2.500 digitos, donde tras determinar un primo de este tamaño, te encontrarás con un gran trecho de naturales hasta dar con el siguiente primo, siendo que el Postulado de Bertrand, "se cumple" en esta, algo poco distante, de la recta numérica natural;... pero sucede (a priori) que los "Saltos" no se dan como sucesiones, puesto que no hay constante de generación entre primos,... observando, que estos "Saltos" se van dando, como "conjunción de secuencias" de tal forma, que el rango en la recta numérica con ausencia de primos, se va acumulando, para en un momento, darse un gran salto, no en proporcionalidad-directa a los anteriores saltos que se fueron dando, siendo este, un precedente inicial de salto, para que se den otros similares y así de esta forma tengamos luego un otro "gran salto" lo que no sigue un criterio sucesional ó progresional, sino, lo considero como algo "secuencial" con términos constantes como se comprende una secuencia; pero con la particularidad, de que esta secuencia, no obedece a una razón simple y constante, sino, a una otra "secuencia de razones" y esta a su vez, se debe a una "secuencia de origen" con lo cual, deberíamos, (luego de comprenderlo) llegar a la concepción de la "Distribución de los Naturales Primos", quién definirá si Bertrand y/o Victor Luis, se cumplen y son válidos, hasta [texx]n[/texx] (infinito).




Saludos Cordiales....
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« Respuesta #10 : 18/07/2017, 04:19:31 am »
Hola

Cita de: Víctor Luis en 17/07/2017, 08:10:49 am
POSTULADO de VICTOR LUIS.

Lema:
" Entre [texx]2n[/texx] y [texx]3n[/texx] existe por lo menos, un natural primo, con [texx]n>1[/texx] "

En este artículo:

http://www.m-hikari.com/ijcms-password/ijcms-password13-16-2006/elbachraouiIJCMS13-16-2006.pdf

se enuncia y se da una prueba de ese resultado. No obstante habría que revisar con calma la demostración. La revista donde está publicado es de una editorial de dudosa fiabilidad.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 18/07/2017, 06:04:04 am »
Cita de: Víctor Luis en 17/07/2017, 08:10:49 am
Buenas Tardes Feriva y JChavez....

Hola, Víctor Luis, buenos días.


 Creo que quizá se podría ampliar esa conjetura que dices (si no se encontrara enseguida un contraejemplo, que no lo he mirado).

Tú dices que siempre hay algún primo en [texx]2n[/texx] y [texx]3n[/texx]. Pues bien, aunque alguna vez me has recriminado que tiendo a generalizar las cosas siempre, aquí se puede generalizar e investigar para ver qué pasa; llama “k” al 2 ó al 3... en fin, a ese coeficiente de la “n”.

“k” puede ir tomando a partir de ahí el valor de todos los naturales; es decir, tu conjetura se convertiría en “siempre hay algún primo entre [texx]nk
 [/texx] y [texx]n(k+1)
 [/texx], donde esté último valor se puede escribir también así [texx]nk+n
 [/texx].

Cuando “k” se haga igual a “n” tendremos los primos entre [texx]n^2[/texx] y [texx]n^{2}+n
 [/texx].

La conjetura de Legendre dice que siempre habrá un primo entre [texx]n^{2}
 [/texx] y [texx](n+1)^{2}
 [/texx]; si desarrollas este último número queda [texx]n^{2}+1+2n
 [/texx], es decir, es un intervalo más largo, la generalización de tu conjetura supone algo más “angosto” y, por tanto, más peligroso de conjeturar; pero tú sólo dices para 2 y 3, esto es lo que digo yo que puedes investigar a ver qué pasa.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #12 : 18/07/2017, 06:15:51 am »
Cita de: feriva en 18/07/2017, 06:04:04 am
Cita de: Víctor Luis en 17/07/2017, 08:10:49 am
Buenas Tardes Feriva y JChavez....

Hola, Víctor Luis, buenos días.


 Creo que quizá se podría ampliar esa conjetura que dices (si no se encontrara enseguida un contraejemplo, que no lo he mirado).

Tú dices que siempre hay algún primo en [texx]2n[/texx] y [texx]3n[/texx]. Pues bien, aunque alguna vez me has recriminado que tiendo a generalizar las cosas siempre, aquí se puede generalizar e investigar para ver qué pasa; llama “k” al 2 ó al 3... en fin, a ese coeficiente de la “n”.

“k” puede ir tomando a partir de ahí el valor de todos los naturales; es decir, tu conjetura se convertiría en “siempre hay algún primo entre [texx]nk
 [/texx] y [texx]n(k+1)
 [/texx], donde esté último valor se puede escribir también así [texx]nk+n
 [/texx].

Cuando “k” se haga igual a “n” tendremos los primos entre [texx]n^2[/texx] y [texx]n^{2}+n
 [/texx].

La conjetura de Legendre dice que siempre habrá un primo entre [texx]n^{2}
 [/texx] y [texx](n+1)^{2}
 [/texx]; si desarrollas este último número queda [texx]n^{2}+1+2n
 [/texx], es decir, es un intervalo más largo, la generalización de tu conjetura supone algo más “angosto” y, por tanto, más peligroso de conjeturar; pero tú sólo dices para 2 y 3, esto es lo que digo yo que puedes investigar a ver qué pasa.

Un cordial saludo.
Si no limitamos el valor máximo de K y el mínimo de n, es una conjetura falsa.

Basta que sea n=1 y k cualquier primo mayor que 2

Pensandolo mejor, es falsa para cualquier n, puesto que siempre puedo encontrar n números consecutivos compuestos.

y como entre kn y kn+n solo hay n números de diferencia, solo tengo que aplicar el anterior teorema.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 18/07/2017, 06:24:54 am »
Cita de: robinlambada en 18/07/2017, 06:15:51 am
Si no limitamos el valor máximo de K y el mínimo de n, es una conjetura falsa.

Basta que sea n=1 y k cualquier primo mayor que 2

Pensandolo mejor, es falsa para cualquier n, puesto que siempre puedo encontrar n números consecutivos compuestos.

y como entre kn y kn+n solo hay n números de diferencia, solo tengo que aplicar el anterior teorema.

Gracias, Robin.

(pues ya no hace falta que lo mires, Víctor Luis).

Saludos.
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« Respuesta #14 : 18/07/2017, 05:48:24 pm »
Buenas Noches....


◘ Con el susodicho Postulado de Victor Luis, que pseudo-conjetura que:  " En el intervalo [texx](2n,3n)[/texx] con [texx]n>1[/texx] siempre se dará un natural primo. "

• Tan solo, quice hacer referencia, a que Bertrand, con su Postulado, se las dá de aportar a todo y contra todos, donde aún por ahora, no podemos encontrar un contra-ejemplo, que invalide este criterio,... simplemente, debido a que, "NO" tenemos el criterio de la "Distribución de los Números Primos"... ni para qué mencionar a la criba de Eratóstenes, que si bien, cumple con el lema del TFA, tan solo nos hace referencia a un criterio de "divisibilidad"... y les pregunto: ¿A caso tan solo la divisibilidad es un criterio que nos lleva a la comprensión de la primalidad? .... Si lo consideran así,... pues mil y mil disculpas, no me inmiscuyo en sus criterios matemáticos,... tan solo comentarles, que hay otros criterios de primalidad,... y leyeron bien, "otros", ya que estructuralmente podemos determinar la primalidad de todo natural impar ó natural [texx]nb[/texx] (Conjunto FV) siendo una primalidad universal; pero también tenemos otro criterio, desde luego que estructuralmente, para determinar (determinísticamente) la primalidad de los naturales de Mersenne, el cual es inédito, ya que no sigue algún siquiera publicado ni estimado criterio dado en la literatura sobre primalidad, dejando muy atrás a nuestro Fermat con su [texx]2^{p-1}\equiv{1} (mod \ p)[/texx] donde no es simplemente, que los números de Mersenne, son de la forma [texx]2^{p}-1[/texx],... nada que ver con esto, simplemente, que todo [texx]Mp[/texx] primo de Mersenne, tiene una única evaluación estructural en un determinado punto estructural,... cosa que ningún natural compuesto ó primo lo tiene, excepto, los que son primos de Mersenne y ante este, tanto GIMPS que mal utiliza el fundamento de primalidad de Lucas Lehemer, se halla en complejidad operacional, algo que a priori, como ya le comentaré a Feriva, con mi criterio empirístico, es dable la determinación de primalidad de estos naturales, en tiempo mas que polinomial,... (a priori) ya que si en factorización, pude reducir la complejidad de la simple metodología de evaluación estructural, al [texx]1 \ %[/texx] permitiéndome factorizar compuestos algo, un tanto grandecitos en digitos, esto mismo, se podrá aplicar a la determinación de primalidad en tiempo mas que polinomial... y no digo mas.





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« Respuesta #15 : 18/07/2017, 08:16:24 pm »
Cita de: Víctor Luis en 18/07/2017, 05:48:24 pm
Buenas Noches....


◘ Con el susodicho Postulado de Victor Luis, que pseudo-conjetura que:  " En el intervalo [texx](2n,3n)[/texx] con [texx]n>1[/texx] siempre se dará un natural primo. "

• Tan solo, quice hacer referencia, a que Bertrand, con su Postulado, se las dá de aportar a todo y contra todos, donde aún por ahora, no podemos encontrar un contra-ejemplo, que invalide este criterio,... simplemente, debido a que, "NO" tenemos el criterio de la "Distribución de los Números Primos"...

Hola de nuevo, Víctor.

Estuvimos discutiendo esta cuestión en mi hilo sobre Bertrand no sé si un mes o casi; nunca aparecerá un contraejemplo, ni mañana ni en el futuro más lejano.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #16 : 19/07/2017, 06:03:12 am »
Hola

Cita de: Víctor Luis en 18/07/2017, 05:48:24 pm
• Tan solo, quice hacer referencia, a que Bertrand, con su Postulado, se las dá de aportar a todo y contra todos,

Bertrand con su postulado no se "dá" nada ni pretende ir contra nadie. Hace una conjetura sobre los primos.

Cita
donde aún por ahora, no podemos encontrar un contra-ejemplo, que invalide este criterio,... simplemente, debido a que, "NO" tenemos el criterio de la "Distribución de los Números Primos"...

No se podrá encontrar un contra-ejemplo porque se ha demostrado que el postulado de Bertrand es cierto. De igual forma que no se puede encontrar un contra-ejemplo a la afirmación "todo número de la forma [texx]4n[/texx] No es primo".

Cita
ni para qué mencionar a la criba de Eratóstenes, que si bien, cumple con el lema del TFA, tan solo nos hace referencia a un criterio de "divisibilidad"... y les pregunto: ¿A caso tan solo la divisibilidad es un criterio que nos lleva a la comprensión de la primalidad?

La divisibilidad sirve para definir el concepto de número primo. A partir de ahí de desarrollan teorías muy ricas y variopintas sobre números primos, algunas de ellas aparentemente alejadas del concepto de divisibilidad. La "comprensión de la primalidad" es una noción imprecisa.

Cita
.... Si lo consideran así,... pues mil y mil disculpas, no me inmiscuyo en sus criterios matemáticos,... tan solo comentarles, que hay otros criterios de primalidad,...

Ciertamente hay montones de criterios de primalidad.

Cita
y leyeron bien, "otros", ya que estructuralmente podemos determinar la primalidad de todo natural impar ó natural [texx]nb[/texx] (Conjunto FV) siendo una primalidad universal; pero también tenemos otro criterio, desde luego que estructuralmente, para determinar (determinísticamente) la primalidad de los naturales de Mersenne, el cual es inédito, ya que no sigue algún siquiera publicado ni estimado criterio dado en la literatura sobre primalidad,

Probablemente tengas algún criterio nuevo; habría que comprobarlo, pero te empeñas en no querer explicarlo en lenguaje común, no en un lenguaje propio.

No obstante estás perdiendo tiempo y energías, en presentarlo como algo distinto a la noción de primo basada en la divisbilidad. Si el criterio es bueno, de manera más directa o quizá más rebuscada, será equivalente a la divisibilidad. Es absurdo perder el tiempo haciendo hincapié en esa diferencia fantasma.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 19/07/2017, 11:54:46 am »

Buenos días, Víctor Luis.

Me gustaría volver a discutir (por correo si quieres, para no volver a decir tanta cosa repetida aquí) la cuestión de Bertrand. Me quedó cierta frustración al no convencerte con mis argumentos y me gustaría que me dieras otra oportunidad; si te apeteciera, si no, no importa, lo dejamos o ya surgirá otra ocasión.
Creo que por correo, además, quizá te sientas más libre para decirme lo que te hace dudar.
¿Te parece bien?

Un cordial saludo.
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« Respuesta #18 : 20/07/2017, 04:54:51 am »
Buenos Días...



Cita
Cita
.... Si lo consideran así,... pues mil y mil disculpas, no me inmiscuyo en sus criterios matemáticos,... tan solo comentarles, que hay otros criterios de primalidad,...

Ciertamente hay montones de criterios de primalidad.

○ Mis disculpas... ya que no sé cómo insertar una cita dentro de otra... y es para ampliar la refencia al comentario que hace El_Manco.

Cita de: El_Manco
Ciertamente hay montones de criterios de primalidad.

◘ Pues con el sumo respeto que te tengo El_Manco,... me atrevo a que me indiques simplemente, (ya que yo lo buscaré en internet) dos metodologías deterministas de primalidad para primos de Mersenne.

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« Respuesta #19 : 20/07/2017, 05:05:11 am »
Hola

Cita de: El_Manco
Ciertamente hay montones de criterios de primalidad.
◘ Pues con el sumo respeto que te tengo El_Manco,... me atrevo a que me indiques simplemente, (ya que yo lo buscaré en internet) dos metodologías deterministas de primalidad para primos de Mersenne.


A vuelapluma (es decir sin profundizar): todos estos son test deterministas de primalidad:

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve_primality

https://en.wikipedia.org/wiki/Miller%E2%80%93Rabin_primality_test#Deterministic_variants_of_the_test

https://en.wikipedia.org/wiki/AKS_primality_test

Además no sé si entendiste el contexto de porque dije que "hay montones de criterios". Tu afirmabas:

" tan solo comentarles, que hay otros criterios de primalidad,..."

Lo que quise decir con que hay montones de criterios es que tu afirmación no soprende a nadie (la dices comos si fuese algo contrario al pensar general): hay muchos critierios y se seguirá avanzando y descubriendo otros nuevos. Eso es lo esperable. Nada sorprendente.

Saludos.
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