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Autor Tema: Infinitos números primos n^2+1  (Leído 1428 veces)
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lee_bran
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« Respuesta #40 : 11/08/2017, 01:58:14 pm »

Tengo que madurar la idea dado que mi afirmación

- Para los números primos, esa serie numérica es de la forma {1, (a), (b), ... ,-1, (-a), (-b), ...}, luego tiene una cifra par de términos y tiene menos términos que el número del criterio

no es del todo cierta: algunos primos tienen serie {1, a, b, ...}, y aunque "parece" que también son series con una cifra par de términos (hasta donde he comprobado, lo son), tendría que encontrar una justificación para ello.

Iba a por algo de este estilo:

[texx]N=10^{2k}+1[/texx] tiene como posibles divisores todos los primos menores de [texx]10^k[/texx].

N tiene una cantidad impar de cifras y los criterios dan una cantidad par: tenemos que 1*1+1*x con x la cifra 2k de la serie para cada primo menor que [texx]10^k[/texx] (si se acababa ésta, se empieza desde el principio, pero nunca llegaría a -1 porque era par ¡¡ERROR!!) no es múltiplo de ese número y por tanto es primo o [texx]10^x+1[/texx] es primo.

CONTRAEJEMPLO:

Criterio del 73: {1, 10, 27, -22, -1, -10, -27, 22}

1*1 + 1* (-1) =0

10... 001, con 72 ceros ya no es divisible entre 73, pero claro, podría serlo por otros primos mayores de 73.

FIN CONTRAEJEMPLO

Mejor dejémoslo en que que lo mío no es encontrar demostraciones de ejercicios sin resolver de la Teoría de Números...

La parte positiva del asunto es que ahora tengo una tabla (inútil para mi propósito) con los criterios de divisibilidad de todos los números primos menores de 1000. :BangHead:
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feriva
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« Respuesta #41 : 12/08/2017, 08:28:43 am »

Hola, Lee_bran.

Con este sencillo código que he hecho en Python puedes calcular las secuencias de restos (si no tienes python no importa, ahora te doy un enlace con lo que lo puedes hacer on line):

Código editado

Código:
from sympy import*

a=100

b=300


def f(m):

c=set()

l= []

for j in range (m):

s = "1"+"0"*(j)

n =int (s)

r =  (n % m)

if abs (r-m) < r:

r =  ( r-m )

r =int (r)


if r in (c):

break

c.add (r)
print r,

print "restos primo:", m

        c=set()


for p in range (a,b):

if isprime (p):

m=p

else:

continue

f(m)


Simplemente copias el código y lo pegas aquí


http://live.sympy.org/

Abajo del todo todo de la ventana, donde está este símbolo >>> y después dar a "Evaluate".

Yo lo tengo ahí puesto con m=11, así te da la secuencia de restos para 11; lo cambias por el divisor que quieras (ah, saldrán trozos repetidos de la misma secuencia).

Saludos.
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lee_bran
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« Respuesta #42 : 12/08/2017, 04:43:28 pm »

Gracias feriva, pero para realizar los cálculos de las series ya utilicé una hoja de cálculo (valga la redundancia) que me permite ver las secuencias de varios números primos a la vez fácilmente, y para otro tipo de comprobaciones suelo utilizar Java o C++ en lugar de Python (aunque lo probé).

Ahora mismo estoy más cerca de demostrar que 101 es el único primo [texx]10^{2k}+1[/texx] que de ver que hay infinitos primos de esta forma, ya que:

 101   lleva a -1 en 3 pasos.
 73   lleva a -1 en 5 y 13 pasos.
 9.901   lleva a -1 en 7 y 19 pasos.
 3.541   lleva a -1 en 11 pasos.
 353   lleva a -1 en 17 pasos.
 89   lleva a -1 en 23 pasos.
 7.841   lleva a -1 en 29 pasos.
 61    lleva a -1 en 31 pasos.
 98.641 lleva a -1 en 37 pasos.
...

Luego entre 2 y 40, [texx]10^{2k}+1[/texx] es divisible por alguno de los anteriores y no da ningún primo. Me temo que he elegido un camino equivocado.

Fin de la transmisión.

P.D.: Si tienen la oportunidad, disfruten de las pérfidas esta noche... digo Perseidas (en que andaría yo pensando).
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feriva
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« Respuesta #43 : 12/08/2017, 05:00:42 pm »

Gracias feriva, pero para realizar los cálculos de las series ya utilicé una hoja de cálculo (valga la redundancia) que me permite ver las secuencias de varios números primos a la vez fácilmente


Bueno, es que lo he programado a salto de mata, lo puedo mejorar :sonrisa:

Cita

P.D.: Si tienen la oportunidad, disfruten de las pérfidas esta noche... digo Perseidas (en qué andaría yo pensando).

Yo soy más de las táuridas, pero echaré un ojo.

Saludos.
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« Respuesta #44 : 13/08/2017, 03:14:11 am »


Hola, Lee_bran.

Tenía unos errores en el bucle del código que puse; empezaba a tomar las potencias de 10 desde arriba en vez desde abajo, y encima puse un cero más; así que no daba bien ordenados los restos, perdona (así no entenderías nada, claro); como me funcionó con el 3 y el 11, que fue los que probé deprisa y corriendo, pues así se quedó (debe de ser que he soñado algo y al levantarme me he dado cuenta de que algo no hice bien; y enseguida he venido ha editarlo, ahí lo he marcado en rojo).

De paso, lo he hecho de forma que te los dé sin repeticiones, la secuencia justa y en orden empezando por la potencia de las unidades de izquierda a derecha

También he añadido unas entradas al principio, valores “a” y “b”, que están puestos en “a=100” y “300”; toma los primos de 100 a 300, en ese intervalo; si lo cambias te pues tienes los que sea.

Si metes números grandes tardará más, por el filtrado de los repetidos y por el hecho de que son más grandes, claro.

Aquí no entiendo cómo entiendes esto

Cita
73   lleva a -1 en 5 y 13 pasos...

 la secuencia es 1 10 27 -22 -1 -10 -27 22 y después se repite; lleva en 5 pasos y ya está; claro que puedes contar dando todas las vueltas que quieras, 13, 21... Pero cuando se acaba no sirve de nada útil seguir; es modular, da vueltas.

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« Respuesta #45 : 13/08/2017, 01:15:39 pm »


Aquí no entiendo cómo entiendes esto

Cita
73   lleva a -1 en 5 y 13 pasos...

 la secuencia es 1 10 27 -22 -1 -10 -27 22 y después se repite; lleva en 5 pasos y ya está; claro que puedes contar dando todas las vueltas que quieras, 13, 21... Pero cuando se acaba no sirve de nada útil seguir; es modular, da vueltas.


Hola,

A mi me sirvió para ver que [texx]N=10^{12}+1[/texx] no es primo porque al aplicar el criterio sobre  1000000000001 tenemos 1*1 + 0*10 + 0* 27 + 0*(-22) + 0* (-1) + 0*(-10) + 0*(-27) + 0*22 + 0*1 + 0*10 + 0* 27 + 0*( -22) + 1*(-1) = 0, y por tanto 73 divide a N. Probé con muchos números y ninguno dejaba el -1 en la posición 13 en la primera vuelta.

Mi intento de demostración se basaba en que los criterios no tenían el -1 en posiciones impares, pero parece ser que me falló la intuición.

De hecho 101, 73 y 17 dividen más del 90% de estos números y, justifico y amplio una afirmación que dí anteriormente, para k entre 1 y 100 los números de la forma [texx]10^{2k}+1[/texx] tienen solamente un "posible" primo:

101: lleva a -1 en 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 99 pasos.
73: lleva a -1 en 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, 77, 85, 93 pasos.
17: lleva a -1 en 9, 25, 41, 57, 73, 89 pasos.

Los impares que quedan sin cubrir por estos números son:
17, cubierto por 353 (-1 en 17 pasos).
33, cubierto por 19841 (-1 en 33 pasos).
49, cubierto por 97 (-1 en 49 pasos).
65, no he encontrado criterio que lleve a -1 en 65 pasos, luego [texx]10^{130}+1[/texx] podría ser primo (la función [texx]isprime[/texx] de Python dice que no, pero no da el divisor).
81, cubierto por 353 (-1 en 81 pasos).
97, cubierto por 193 (-1 en 97 pasos).

Saludos.
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« Respuesta #46 : 14/08/2017, 06:42:13 am »




A mi me sirvió para ver que [texx]N=10^{12}+1[/texx] no es primo porque al aplicar el criterio sobre  1000000000001 tenemos 1*1 + 0*10 + 0* 27 + 0*(-22) + 0* (-1) + 0*(-10) + 0*(-27) + 0*22 + 0*1 + 0*10 + 0* 27 + 0*( -22) + 1*(-1) = 0, y por tanto 73 divide a N. Probé con muchos números y ninguno dejaba el -1 en la posición 13 en la primera vuelta...



Hola.

Sí, no te faltaba toda la razón ni yo la tenía toda. Para encontrar los que se multiplican por -1 se contaría 5 y luego ya 5+8; 5+8+8... a partir del principio.

Ordenando la secuencia bien (con el 1 a la derecha, no como la puse) y pegando algunas secuencias más


...(22,-27,-10),-1,(-22,27,10,1); (22,-27,-10),-1,(-22,27,10,1); (22,-27,-10),-1,(-22,27,10,1)

se ve más claro; contando desde la derecha.

En general, si la posición de un resto en la secuencia es “k” y la cantidad de restos de la secuencia es “N”, las cifras a multiplicar por ese resto (partiendo de las unidades) las encontraremos en las posiciones [texx]k + n \cdot N[/texx] con “n=0,1,2,3...”. Éste sería el criterio general para elaborar los criterios.

No obstante, una vez determinada la posición “k” para el primer resto que queramos tratar, es mejor contar N+1 (si incluimos los dos “r” en la cuenta) ó N (si empezamos a contar a partir del siguiente a “r” hasta  el otro “r” incluido). Esta segunda forma de contar es análoga a la que usamos para encontrar los múltiplos de un número; por ejemplo, los de 3: si llegamos a 6 aquí, 1,2,3,4,5,6, contamos luego 7,8 y 9, tres números, y llegamos al siguiente múltiplo de tres. En el caso de las secuencias, el “módulo” respecto de un resto viene a ser la cantidad de restos que tiene la secuencia.

Esta  forma de verlo es más la propia para estas cosas y ahorra mucho; lo otro es un poco como aquel señor que pintaba la raya de la carretera y cada día pintaba mucho menos en cuanto a distancia, hasta que un día sólo pintó un metro; y es que se iba a mojar la brocha al principio de la carretera, no se llevaba el cubo.


Relacionada con tu estudio, aunque no directamente con esa conjetura, se me ocurre una buena sugerencia (no sé si servirá de ayuda en concreto para lo que quieres demostrar). Se trata investigar los repitunos primos; supongo que los conoces, son los primos donde todas las cifras son unos, como 11. Es fácil demostrar que la cantidad de unos también tiene que ser un número primo. Estos primos están bastante distanciados y no se conocen muchos. Atendiendo a la cantidad de cifras 1 son éstos: 2 (con dos unos, el 11), 19, 23, 317, 1031... y algunos más que se pueda conocer, lo tienes en Wikipedia.

Claro, se trataría de buscar alguna coincidencia entre los criterios de estos primos, ya que, todas sus cifras son “1111...” y alguna particularidad quizá podría haber.

....

Los factores de [texx]1+10^{130}[/texx]

son éstos:
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Puedes usar este programa para factorizar números muy grandes:

https://www.alpertron.com.ar/ECMC.HTM

Saludos.
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« Respuesta #47 : 14/08/2017, 02:22:17 pm »

Gracias por el enlace,

Me lié: el candidato a primo era 10^64+1, que tiene 65 cifras y que según la página, tiene como menor divisor el 1265011073... por eso no lo encontraba.

Respecto a los repitunos, los conocía como repunit. No veo que puedan ayudarnos en este caso, aunque podría jugar un rato con ellos y con los criterios de divisibilidad.

No era mi intención inicial realizar un estudio sobre los divisores de N=10^k +1, pero siempre me quedo atascado en encontrar divisores cuando k=2^n.

Actualmente no encuentro divisor para n=10 ni con el factorizador facilitado (es decir, para N=10^1024+1) y el siguiente que no tengo es el de n=11.
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