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Autor Tema: Infinitos números primos n^2+1  (Leído 1779 veces)
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lee_bran
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« : 07/07/2017, 04:53:38 am »

Hay una conjectura que enuncia que existen infinitos números de la forma [texx]n^2+1[/texx]

Demostración

Procedemos por reducción al absurdo:

Supongamos que existe un conjunto finito ordenado de menor a mayor de cardinal [texx]s, \left\{{p_1, p_2, ..., p_s}\right\} [/texx] primos tal  que [texx]p_1=q_1^2+1, p_2=q_2^2+1, ..., p_s =q_s^2+1[/texx] para ciertos [texx]q_1, q_2,..., q_s \in{\mathbb{N}}[/texx]

Sea el número [texx]P = (p_1 * p_2 * ... * p_s) ^2+1 = N^2+1[/texx]

Ninguno de los [texx]p_i[/texx] divide a [texx]P[/texx], ya que el resto de realizar la división nos daría 1. Pero [texx]P[/texx] es mayor que cualquier [texx]p_i[/texx] y no está en el conjunto inicial. Esto contradice nuestra hipótesis de que el conjunto de los números [texx]n^2+1[/texx] era finito.

Nota: sigue el esquema que Euclides utilizó en "Los Elementos" para demostrar que hay infinitos numeros primos. Hay escuelas de pensamiento que no admiten la reducción al absurdo para cuestiones infinitas...

Allá cada uno.

Saludos.
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« Respuesta #1 : 07/07/2017, 05:23:15 am »

Hay una conjectura que enuncia que existen infinitos números de la forma [texx]n^2+1[/texx]

Demostración

Procedemos por reducción al absurdo:

Supongamos que existe un conjunto finito ordenado de menor a mayor de cardinal [texx]s, \left\{{p_1, p_2, ..., p_s}\right\} [/texx] primos tal  que [texx]p_1=q_1^2+1, p_2=q_2^2+1, ..., p_s =q_s^2+1[/texx] para ciertos [texx]q_1, q_2,..., q_s \in{\mathbb{N}}[/texx]

Sea el número [texx]P = (p_1 * p_2 * ... * p_s) ^2+1 = N^2+1[/texx]

Ninguno de los [texx]p_i[/texx] divide a [texx]P[/texx], ya que el resto de realizar la división nos daría 1. Pero [texx]P[/texx] es mayor que cualquier [texx]p_i[/texx] y no está en el conjunto inicial. Esto contradice nuestra hipótesis de que el conjunto de los números n^2+1 era finito.

Nota: sigue el esquema que Euclides utilizó en "Los Elementos" para demostrar que hay infinitos numeros primos.


Hola, lee_bran.

Pero eso garantiza que será un coprimo con todos los primos del paréntesis, no que sea primo; es decir, a veces es un compuesto formado por primos mayores que [texx]p_s[/texx].

Saludos.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 07/07/2017, 06:20:36 am »


Ninguno de los [texx]p_i[/texx] divide a [texx]P[/texx], ya que el resto de realizar la división nos daría 1. Pero [texx]P[/texx] es mayor que cualquier [texx]p_i[/texx] y no está en el conjunto inicial. Esto contradice nuestra hipótesis de que el conjunto de los números [texx]n^2+1[/texx] era finito.


No, eso lo que te asegura es que hay algún primo, P o algún divisor suyo, que no está en [texx]\left\{{p_1, p_2, ..., p_s}\right\}[/texx], pero no que tenga que ser de la forma [texx]n^2 + 1[/texx].

De hecho, hasta donde yo se no se ha podido probar que ningún polinomio de grado mayor que [texx]1[/texx] que tome una infinidad de valores primos, aunque se conjetura que si que los hay, entre ellos [texx]n^2 + 1[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #3 : 07/07/2017, 06:33:46 am »

Cita de: ilarrosa link=topic=96840.msg388856#msg388856

De hecho, hasta donde yo se no se ha podido probar que ningún polinomio de grado mayor que [texx]1[/texx] que tome una infinidad de valores primos, aunque se conjetura que si que los hay, entre ellos [texx]n^2 + 1[/texx].


De lo que sí podamos estar seguros es de que nunca se encontrará un contraejemplo, pues el no hallar más primos de esa forma no implicaría que no los hubiera; para falsearla habría que demostrar que no parecen nunca más mediante algún argumento formal lógico, lo cual se me antoja casi imposible, por no decir imposible.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 07/07/2017, 06:40:17 am »


Ninguno de los [texx]p_i[/texx] divide a [texx]P[/texx], ya que el resto de realizar la división nos daría 1. Pero [texx]P[/texx] es mayor que cualquier [texx]p_i[/texx] y no está en el conjunto inicial. Esto contradice nuestra hipótesis de que el conjunto de los números [texx]n^2+1[/texx] era finito.

No, eso lo que te asegura es que hay algún primo, P o algún divisor suyo, que no está en [texx]\left\{{p_1, p_2, ..., p_s}\right\}[/texx], pero no que tenga que ser de la forma [texx]n^2 + 1[/texx].

Considera por ejemplo [texx]\{2, 5, 17, 37, 101\}[/texx], el conjunto de los primeros cinco primos de la forma [texx]n^2 + 1[/texx]. El número P correspondiente es

[texx]P = (2\cdot{} 5\cdot{} 17\cdot{} 37 \cdot{}101)^2 + 1 = 403593384101 = 207593\cdot{}1944157[/texx]

Pero [texx]P[/texx] no es primo, y sus dos factores primos no son de la forma [texx]n^2 + 1[/texx]. Piensa por otra parte que si fuese tan sencillo, ya hace bastante tiempo que habría dejado de ser una conjetura.

Saludos,
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« Respuesta #5 : 07/07/2017, 06:48:27 am »

Cita de: ilarrosa link=topic=96840.msg388856#msg388856

De hecho, hasta donde yo se no se ha podido probar que ningún polinomio de grado mayor que [texx]1[/texx] que tome una infinidad de valores primos, aunque se conjetura que si que los hay, entre ellos [texx]n^2 + 1[/texx].


De lo que sí podamos estar seguros es de que nunca se encontrará un contraejemplo, pues el no hallar más primos de esa forma no implicaría que no los hubiera; para falsearla habría que demostrar que no parecen nunca más mediante algún argumento formal lógico, lo cual se me antoja casi imposible, por no decir imposible.


No se si te entiendo bien. Si que se puede probar que hay polinomios que solo alcanzan un número finito de valores primos. Como por ejemplo [texx]n^3 - n^2 + n - 1 = (n-1)(n^2 + 1)[/texx], cuyo único valor primo es [texx]5\textrm{ para }n = 2[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #6 : 07/07/2017, 06:52:09 am »

Cita de: ilarrosa link=topic=96840.msg388862#msg388862
nhj

No se si te entiendo bien. Si que se puede probar que hay polinomios que solo alcanzan un número finito de valores primos. Como por ejemplo [texx]n^3 - n^2 + n - 1 = (n-1)(n^2 + 1)[/texx], cuyo único valor primo es [texx]5\textrm{ para }n = 2[/texx].

Saludos,

Sí, se me había olvidado matizar; si el polinomio se puede factorizar ya sí es fácil.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 07/07/2017, 07:10:08 am »

Cita de: ilarrosa link=topic=96840.msg388862#msg388862
nhj

No se si te entiendo bien. Si que se puede probar que hay polinomios que solo alcanzan un número finito de valores primos. Como por ejemplo [texx]n^3 - n^2 + n - 1 = (n-1)(n^2 + 1)[/texx], cuyo único valor primo es [texx]5\textrm{ para }n = 2[/texx].

Saludos,

Sí, se me había olvidado matizar; si el polinomio se puede factorizar ya sí es fácil.

Saludos.

Aunque no siempre las factorizaciones son del todo evidentes. Por ejemplo, [texx]n^4 + 4[/texx] solo es primo para [texx]n = \pm{}1[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #8 : 07/07/2017, 08:23:21 am »



Aunque no siempre las factorizaciones son del todo evidentes. Por ejemplo, [texx]n^4 + 4[/texx] solo es primo para [texx]n = \pm{}1[/texx].

Saludos,

De acuerdo en eso. Al decir "fácil" no me refería a que fuera siempre fácil encontrar la factorización, sino a que si tenemos [texx](n^2-2n+2)(n^2+2n+2)[/texx] es obvio que en cuanto "n" haga que al menos dos factores (en este caso sólo so dos, pero si fueran más) sean distintos de 1, ya serán compuestos.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 10/07/2017, 06:37:59 am »

Fe de Errores: ([texx]OJO[/texx], en el primer enunciado dije que hay infinitos números de esta forma. Debería haber dicho que hay "infinitos números primos" de esta forma).

¿Alguien sabe cuál es el mayor número primo conocido de la forma [texx]n^2 + 1 [/texx]? Lo he buscado en la web, pero no encuentro nada al respecto.

Se ve claramente que la primera observación de feriva invalida el intento de trasladar la demostración de infinitos números primos de Euclides a infinitos números primos de esta forma. Afinando un poco más:

INTENTO DE DEMOSTRACIÓN

Procedemos por reducción al absurdo:

Supongamos que existe un conjunto finito ordenado de menor a mayor de cardinal [texx]s, A = \left\{{q_1, q_2, ..., q_s}\right\} [/texx] tal  que [texx]p_1=q_1^2+1, p_2=q_2^2+1, ..., p_s =q_s^2+1[/texx] son primos

Sea la siguiente lista de números:
[texx]P_0 = (q_1 * q_s) ^2 + 1 [/texx]
[texx]P_1 = (q_1 * q_s + 2) ^2 + 1 [/texx]
[texx]P_2 = (q_1 * q_s + 4) ^2 + 1 [/texx]
y en general
[texx]P_k = (q_1 * q_s + 2k) ^2 + 1 [/texx] dónde k [texx]0\leq{k}\leq{ q_s} [/texx] (este valor lo tengo pendiente de revisar ya que no me termina de convencer).

Los [texx]P_i[/texx] son mayores que cualquier elemento del conjunto [texx]A[/texx], y si alguno de ellos fuera primo, se generaría una contradicción con la hipótesis. Pero ¿cómo saber si estos números son primos o no si no es de forma práctica? Tendría que pensar en ello, aunque lo que está claro es que [texx]q_1[/texx] = 2, ya que [texx]2*2+1 = 5[/texx], que es primo, y por tanto [texx]P_i = (q_1 * q_s + 2 i) ^2 + 1 = (2*(i+q_s))^2 + 1 = 4 * (i+q_s)^2 + 1  = 4 Q + 1[/texx]

Hay un resultado demostrado por Euler, Lagrange y Zagier (entre otros) que enuncia que un número primo de la forma [texx]4 k + 1[/texx] es igual a la suma de dos números cuadrados, aunque no se tiene una demostración constructiva del hecho (e.d., si p es primo, [texx]p = x^2 + y ^2 [/texx] para [texx]x, y \in{\mathbb{N}}[/texx]).

Tal vez haya algún otro resultado que se pueda utilizar...

Haciendo una prueba del estilo que proponía ilarrosa para tirar mi primer intento de demostración, sea el conjunto [texx]A = \left\{{2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40}\right\}[/texx]. Aplicando la función [texx]f(x) = x^2 + 1[/texx] a cada elemento de la lista A, tenemos los siguientes números que son primos[texx]\left\{{5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601}\right\}[/texx]

Por otra parte, tenemos los [texx]P_i[/texx]:
[texx]P_0 = (2*40)^2 + 1 = 6401[/texx], que no es primo (173*37).
[texx]P_1 = (2*42)^2  + 1 = 7057[/texx], que es primo.

Y hemos encontrado un primo mayor que los de [texx]f(A)[/texx] que es de la forma [texx]n^2+1[/texx]. Por supuesto, esto no indica nada: es una mera aplicación de lo que se conoce como Métodos Numéricos a un caso concreto, pero pudiera ser un camino para certificar que la conjetura es cierta.

Aunque quién sabe: igual ni siquiera existen infinitos números primos, entendiendo este infinito como una biyección entre \mathbb{N} y \mathbb{P}

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #10 : 10/07/2017, 06:54:05 am »

Hola

INTENTO DE DEMOSTRACIÓN

Procedemos por reducción al absurdo:

Supongamos que existe un conjunto finito ordenado de menor a mayor de cardinal [texx]s, A = \left\{{q_1, q_2, ..., q_s}\right\} [/texx] tal  que [texx]p_1=q_1^2+1, p_2=q_2^2+1, ..., p_s =q_s^2+1[/texx] son primos

Sea la siguiente lista de números:
[texx]P_0 = (q_1 * q_s) ^2 + 1 [/texx]
[texx]P_1 = (q_1 * q_s + 2) ^2 + 1 [/texx]
[texx]P_2 = (q_1 * q_s + 4) ^2 + 1 [/texx]
y en general
[texx]P_k = (q_1 * q_s + 2k) ^2 + 1 [/texx] dónde k [texx]0\leq{k}\leq{ q_s} [/texx] (este valor lo tengo pendiente de revisar ya que no me termina de convencer).

No veo ningún indicio para que esa idea pueda llevar a buen puerto; lo que estás haciendo es tomar una colección bastante grande de números de la forma [texx]n^2+1[/texx] generados a partir de los iniciales, para que entre ellos sea más probable que exista un primo (entendiendo que la conjetura sea cierta), frente a tu intento inicial donde sólo construías uno. Eso simplemente puede hacer más difícil (o quizá imposible si has tomado una colección suficientemente grande) dar un ejemplo concreto como hizo ilarrosa de que la idea en ningún caso funciona; pero con contraejemplo o sin él la prueba pasar se completada necesita justificar que entre esa colección de números hay un primo. Es decir estamos como al principio: necesitamos saber si números de la forma [texx]n^2+1[/texx] son o no primos.

Saludos.
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lee_bran
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« Respuesta #11 : 10/07/2017, 02:01:52 pm »

Buenas tardes,

Totalmente de acuerdo con la conclusión: este intento tampoco lleva a buen puerto. Únicamente decir que:

- Aunque es cierto que esta vez he construido más de un número, por contra he reducido el orden de magnitud de estos considerablemente dado que en el intento inicial multiplicaba todos los números mientras que aquí solamente multiplico 2, luego que sea más difícil comprobar contraejemplos es discutible.

- Además, pienso que, al igual que pasa con la conjetura de Andrica, tal vez no haga falta tomar una cantidad de números tan grande como lo indicado de [texx]k[/texx] respecto a [texx]q_s[/texx]: con algo del tipo [texx]2\sqrt[ ]{q_s}[/texx] como en dicha conjetura debería valer, (lo digo en base a algunas pruebas menores que he realizado).

Gracias por comentar.
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Víctor Luis
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« Respuesta #12 : 17/07/2017, 11:46:55 am »

Buenas Tardes Lee_Bran....


Cita de: Lee_Bran
Hay una conjectura que enuncia que existen infinitos números de la forma [texx]n^{2}+1[/texx]

◘ De forma general, no se puede decir ni conjeturar ni afirmar, que hayan tan solo primos para todo [texx]n[/texx] de la forma [texx]n^{2}+1[/texx]

COMPROBACIÓN DEMOSTRATIVA.


○ Sólo se darán primos de la forma [texx]n^{2}+1[/texx] sí y sólo sí, cuando [texx]n[/texx] sea "par", con tan solo una excepción, cuando [texx]n=1[/texx] conformándose [texx]1^{2}+1=2[/texx] donde el natural "2" es el único sprimo par.

◘ Demostrarlo debe ser muy simple; pero en mi criterio, con una comprobación evaluativa, se observa y llegamos a que todo [texx]n>1[/texx] que sea "impar" el producto de su cuadrado, es un natural "impar" donde sumado [texx]+1[/texx] a un impar, se obtiene un natural "PAR" y como ya dijimos, el "único" natural par, considerado como sprimo es el "2", por lo tanto, NINGÚN [texx]n[/texx] impar al cuadrado mas uno, nos dará un ni siquiera natural que se considere primo, siendo que a excepción del sprimo "2", el restante del "Universo" de primos, TODOS son "naturales impares".

► De esta forma, no todos los naturales de la forma [texx]n^{2}+1[/texx] podrán ser considerados como posibles primos.


Cita de: LeeBran
Supongamos que existe un conjunto finito ordenado de menor a mayor de cardinal [texx]s=\{p_{1},p_{2},...,p_{s}\}[/texx] primos tal  que...

• No conformando todos los [texx]n[/texx] un natural impar de la forma [texx]n^{2}+1[/texx] no se puede (en mi criterio personal) proseguir a suponer que exista "un conjunto" finito (esto supongo es dable hasta un rango) pero los primos son infinitos,... mas continuando, tampoco es dable considerar, que en supuesto conjunto de primos, estos se den "ordenados" ya que tan criterio, supondría el determinar una razón ó constante de generación directa entre tan solo naturales primos,... lo cual es un "absurdo", debido a que, si partimos de este criterio (el cual se dá y se repite en varios argumentos explicativos y hasta demostrativos) estaríamos esperando encontrar el santo grial de las razones y/o constantes, como se teoriza y conceptualiza en los Teoremas de: Conjuntos, Grupos, Sucesiones y Progresiones,... criterio, que por mas de 2.000 años, no se adapta, amolda, ajusta ni evoluciona ni evolucionará, a lo que es, la "Distribución de los Números Primos"... ó sí??


◘ Por ultimo.... Podemos afirmar que los naturales de la forma [texx]n^{2}+1[/texx] con [texx]n>1[/texx] y [texx]n[/texx] "impar" conforman "infinitos números naturales compuestos", donde no son estos únicos y exclusivos, ya que tenemos, varios algoritmos y criterios metodológicos, para generar y/o conformar infinitos naturales compuestos tanto pares como impares, lo cual, debería ser desarrollado y analizado, para partir de un contra-ejemplo de criterio, ante la develación de la existencia de generación-lineal-natural de números primos.





Saludos Cordiales...
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lee_bran
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« Respuesta #13 : 17/07/2017, 03:23:53 pm »

Buenas tardes,

Respecto al primer escollo que me plantea, conforme sin discusion. La conjetura enuncia que hay infinitos primos que se pueden expresar como suma de un cuadrado mas uno, no que todos los numeros expresables como suma de un cuadrado mas uno sean primos (por ej. 65=8*8+1, que es multipli de 5).

En cuanto al segundo escollo, usted mismo me dio un conjunto finito ordenado de primos que se pueden expresar como suma de un cuadrado mas uno,  a saber: {2, 5, 17, 37, 101},  que provienen de 1, 2, 4, 6 y 10, luego no comprendo la pega que plantea.

Respecto a mi argumentacion, es tan falaz que se puede traducir a lo siguiente:
- Supongamos que hay un conjunto de primos finito que se pueden escribir como suma de un cuadrado mas uno. Los ordenamos de menor a mayor y...
-¿Ha probado si los siguientes cuadrados mas uno son primos?
- No.
- ¿Entonces como sabe que son finitos?

Luego el barco se hundio, pero porque no estaba bien equipado.

Saludos
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« Respuesta #14 : 17/07/2017, 03:56:14 pm »


Hola, Víctor Luis.

Ya estaba oxidándome de no entrar; cuando llevo unos días así... se me olvida hasta sumar :sonrisa:

Cita

Sólo se darán primos de la forma [texx]n^2+1[/texx] sí y sólo sí, cuando sea "par"


Sí, es fácil de demostrar que [texx]n^2+1[/texx] con “n” impar es compuesto salvo cuando “n=1”, porque un impar al cuadrado sigue siendo impar, pues no tiene el factor 2, entonces al sumarle 1 es un par; si “n” no es 1, será un par mayor que dos.

Otra forma de hacerlo es llamar a “n” con el nombre de “2a+1”, donde con “a=1” vale 3, el primer impar diferente de 1. Y en general tienes, desarrollando el cuadrado

[texx](2a+1)^{2}+1=4a^{2}+1+4a+1=4a^{2}+4a+2
 [/texx], donde los tres sumandos son de la “tabla” del 2 y por tanto la suma es un par.

Pero eso no quiere decir que no pueda ser infinita la cantidad de primos de esa forma, como dice lee_brian; recuerda que “todos” no es lo mismo que infinito; por ejemplo, los pares no son todos los naturales, pero la cantidad de pares es infinita, al igual que la de los naturales.

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #15 : 17/07/2017, 06:42:47 pm »

Buenas Noches Feriva y Lee_Bran....



Cita de: Feriva
Pero eso no quiere decir que no pueda ser infinita la cantidad de primos de esa forma, como dice lee_brian; recuerda que “todos” no es lo mismo que infinito; por ejemplo, los pares no son todos los naturales, pero la cantidad de pares es infinita, al igual que la de los naturales.

◘ Si los pares son infinitos, deducimos que también los impares son infinitos, donde tenemos naturales primos pares e impares, siendo el único sprimo par el "2" dentro de un inmenso e infinitezco conjunto de pares, donde a la par, en el también inmenso e infinitezco conjunto de impares, tenemos el "Universo -1" de los naturales primos... y es que así no mas hay que dejarlo, ya que "por definición" y concenso, tomamos al natural "2" como primo.... bueno, solo decía....  :sonrisa_amplia:


LEE_BRAN.


◘ ¿Qué tal si analizas e investigas los naturales primos que se dan de la forma [texx](p\cdot{}3)\pm{2}[/texx] ?

○ Curiosamente, con esta modalidad de generación, encontramos primos algo grandes (desde un mil digitos) lo cual no sucede, con la consideración que se dá, a que el primorial +1 sería un natural primo, como sucede al inicio de la recta numérica:

(2*3)+1 = 7
(2*3*5)+1 = 31
(2*3*5*7)+1 = 211
(2*3*5*7*11)+1 = 2311

Se dan primos.... pero:

(2*3*5*7*11*13)+1 = 30031 .... que es COMPUESTO

○ Pero nada es perfecto,... intentemos encontrar por lo menos unos 10 primos mas, con los primoriales de los siguientes primos en darse, claro que sumando +1 al primorial,.... ¿Cuántos primos mas se darán, digamos hasta que el primorial llegue a tener unos 1.000 digitos?      (suerte!!!)


► ¿Qué porcentaje de primos se darán de la forma [texx]n^{2}+1[/texx] hasta digamos [texx]n=10^{6}[/texx] ?  Veamos el Spoiler...


Spoiler (click para mostrar u ocultar)




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« Respuesta #16 : 17/07/2017, 07:32:23 pm »

Hola, Víctor Luis, buenas noches.

Cita
 Si los pares son infinitos, deducimos que también los impares son infinitos, donde tenemos naturales primos pares e impares, siendo el único sprimo par el "2" dentro de un inmenso e infinitezco conjunto de pares, donde a la par, en el también inmenso e infinitezco conjunto de impares, tenemos el "Universo -1" de los naturales primos... y es que así no mas hay que dejarlo, ya que "por definición" y concenso, tomamos al natural "2" como primo

No son comparables los pares con los impares, pese a lo que las palabras nos sugieren y pese a que la gente “normal” (que no da vueltas a estas cosas) podría pensar.

Los pares son múltiplos de un solo primo (de uno obligado, digo) y el 2 es primo frente a infinitos pares que no son primos, en efecto; pero los impares no son múltiplos de un solo primo obligado, sino que pueden ser múltiplos de todos los infinitos primos y siguen siendo impares; son impares las potencias de 3, de 5, de 7, de 11... por ejemplo, mientras que los pares sólo tienen las potencias de 2. Luego lo que se avendría a justicia o equilibrio sería comparar los pares con los múltiplos de un sólo primo: los de 5, los de 7... del primo que quieras, pero sólo de uno, y no comparar a los pares con los múltiplos de todos los infinitos primos que no son 2; en esto que acabo de decir se ve que los pares y los impares son “bichos” distintos, de especies diferentes, pese a que mucha gente los vea como los polos negativo y positivo, o como la mano izquierda o derecha... no es ese tipo de comparación; comparar los pares y los impares es como comparar una patrulla con una tropa o un ejército.

En cuanto a lo de los primoriales, para el ordenador ya es un Calvario calcular primoriales de cinco o seis cifras, así que de 1000... no creo que acabe nunca.



Un cordial saludo y buenas noches, Víctor.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #17 : 18/07/2017, 04:29:36 am »

Hola

► De esta forma, no todos los naturales de la forma [texx]n^{2}+1[/texx] podrán ser considerados como posibles primos.

Nadie en este hilo estaba afirmando que todos los naturales de la forma [texx]n^2+1 [/texx] puedan ser considerados como posibles primos; la conjetura de la que habla lee-bran y que hasta ahora no está ni refutada ni demostrada es que hay infinitos numeros primos expresables de la forma [texx]n^2+1[/texx], que es diferente.

Cita
tampoco es dable considerar, que en supuesto conjunto de primos, estos se den "ordenados" ya que tan criterio, supondría el determinar una razón ó constante de generación directa entre tan solo naturales primos,...

Es perfectamente "dable" o válido, considerar que un conjunto de primos esté ordenado; esto significa simplemente que los enumeramos de manera que cada uno sea menor que el anterior. Por ejemplo considerar el conjunto de primos: [texx]\{7,3,5,11\}[/texx] como ordenado es simplemente reescribirlos de menor a mayor como [texx](3,5,7,11).[/texx]

Cita
lo cual es un "absurdo", debido a que, si partimos de este criterio (el cual se dá y se repite en varios argumentos explicativos y hasta demostrativos) estaríamos esperando encontrar el santo grial de las razones y/o constantes, como se teoriza y conceptualiza en los Teoremas de: Conjuntos, Grupos, Sucesiones y Progresiones,... criterio, que por mas de 2.000 años, no se adapta, amolda, ajusta ni evoluciona ni evolucionará, a lo que es, la "Distribución de los Números Primos"... ó sí??

Esta frase es un trabalenguas que, al menos yo, no entiendo.

Saludos.
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« Respuesta #18 : 18/07/2017, 06:38:37 am »

Cualquier numero es candidato a primo, pero en el sistema posicional decimal sabemos que se pueden descartar a primera vista los que acaban en cifra par por ser divisibles entre 2 y los acabados en 5 por serlo entre 5.

Por tanto, los numeros que acaban en 0, 4 o 6, al elevarlos al cuadrado y sumarles 1 no puede descartarse a simple vista que no sean primos porque acaban en 1 o 7.

¿Cuantos hay que lo sean? Muchos, tal vez infinitos.
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« Respuesta #19 : 18/07/2017, 08:13:47 am »


Hola, lee_bran. Paso sólo para explicarle esto que dices a mi amigo Víctor Luis, que es un gran matemático empírico pero que huye un poco del álgebra y las demostraciones; aunque sean sencillas. Y llevo tiempo queriéndole convencer de que use más las cuentas con letras, que es útil y fácil si uno se acostumbra un poco.

Atiende, Víctor, que sospecho que te interesará esto para tus ampliar tus ideas.

Cualquier número que acaba en en una cifra (como 2) se puede escribir como un múltiplo de 10 más la cifra, en este caso que digo, 2.

Por ejemplo, cualquiera a voleo: 254672 es [texx]254670+2[/texx]. Por tanto, estos número se podrán escribir así siempre:

[texx]10k+2[/texx]

Al elevarlos al cadrado tendremos

[texx](10k+2)^{2}=100k^{2}+4+40k
 [/texx].

Tenemos el 4 y dos sumandos que son múltiplos de diez; su suma se puede escribir entonces como [texx]10t+4
 [/texx] donde “t” es el número que sea. Así, como el múltiplo de 10 acaba en cero, al sumarle 4 acabará en 4.

Y, si a eso le sumamos 1, acabará en 5.

Luego los números de la forma [texx]n^2+1[/texx] en los que “n” es un número que acaba en 2, no son primos nunca, porque acaban en 5 y entonces son múltiplos de 5.

Si lo haces con 8 verás que ocurre algo parecido, tendrás dos suamandos múltiplos de 10 y otro sumando que será 64=60+4, o sea, que queda también, al sumar los múltiplos de 10 entre ellos, un múltiplo de 10 más 4; y pasa lo de antes.

...


¿Cuantos hay que lo sean? Muchos, tal vez infinitos.

 Eso intuyo, apostaría por que es así si tuviera algo para apostar.

Saludos.

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