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Autor Tema: Probar la complitud de un estadístico.  (Leído 119 veces)
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Suiron
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« : 06/07/2017, 01:26:12 pm »

Buenas, ando intentando hacer un ejercicio de probar la suficiencia y complitud (o completitud, no sé cuál de los dos términos es el correcto) de un estadístico. El enunciado es el que sigue:

Sea [texx]X \rightarrow \big\{P_{N} \ / \ N \in \mathbb{N} \big\}[/texx]; siendo [texx]P_{N} = U(1, 2, \dots, N)[/texx] y siendo [texx]\big(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}\big)[/texx] una muestra aleatoria simple de [texx]X[/texx]. Probar que [texx]T\big(X_{1}, \dots, X_{n}\big) = \displaystyle \max_{1 \leq i \leq n} \big\{X_{i}\big\}[/texx] es suficiente y completo para la familia de distribuciones dada.


Es decir, tenemos una familia de distribuciones uniformes en [texx]N[/texx] valores y la f.m.p de [texx]T[/texx] es obtenible.

[texx]P(T \leq t) = P(X \leq t)^{n} = \displaystyle\left(\frac{t}{N}\right)^{n}, \ \forall t \in \{1, \dots, N\}[/texx]
[texx]P(T = t) = P(T \leq t) - P(T \leq t-1) = \displaystyle \frac{t^{n}-(t-1)^{n}}{N^{n}}, \ \forall t \in \{1, \dots, N\}[/texx]


Suficiencia: Sin problemas, me basta con aplicar el teorema de factorización de Neyman-Fisher.

Complitud: Sea [texx]g[/texx] una función medible para la cual [texx]E\big[g(T)\big] = 0[/texx] (arbitraria). Debo probar que entonces [texx]g[/texx] degenera el estadístico a 0; es decir, que entonces [texx]P\big(g(T)=0\big)=1[/texx]

[texx]E\big[g(T)\big] = \displaystyle \sum_{1 \leq t \leq N} g(t) P_{N}(T = t) = \sum_{t=1}^{t=N} g(t) \frac{t^{n}-(t-1)^{n}}{N^{n}} = 0[/texx]

Mi intención era sacar de la expresión que [texx]g[/texx] se anula... y podría si me restringiera a las funciones medibles y positivas, sería trivial (una suma nula de sumandos positivos...). Pero teniendo que contar con las que no son positivas, no sé cómo seguir... En un intento pensé en buscar algo del tipo
[texx]P(g(T)=0) \geq P(\text{suceso #2}) = 1[/texx]
pero tampoco tengo muy claro cómo buscar ese nuevo suceso... Pensé en que [texx]P(g(T) = 0) = P(T \in g^{-1}(0))[/texx], pero ahí me quedé...


Muchas gracias a quienes se tomen el tiempo de leer mi duda.

Saludos.
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Suiron
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« Respuesta #1 : 15/07/2017, 03:45:07 pm »

No sé si está permitido reescribir en un tema sin respuesta para intentar conseguirla, pero desde luego es preferible a repetir la pregunta en un nuevo post.

Tengo la duda aún pendiente y mi profesor no me ha dado ninguna respuesta. ¿Alguien me puede ayudar?


Muchas gracias, y mis disculpas a los moderadores si esta acción no está permitida.
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« Respuesta #2 : 18/07/2017, 09:36:08 am »

Idea... A ver si está bien... Inducción sobre el número de puntos

Si [texx]N = 1 \Longrightarrow E\big[g(T)\big] = g(1) P(T = 1) = 0 \Longrightarrow \boxed{g(1) = 0}[/texx]
Si [texx]N = 2 \Longrightarrow E\big[g(T)\big] = \cancel{g(1)} P(T = 1) + g(2) P(T = 2) = 0 \Longrightarrow \boxed{g(2) = 0}[/texx]

Por inducción se demuestra que [texx]g(t) = 0, \ \forall t \in \mathbb{N}[/texx] y, por tanto,
[texx]P_{N}\big(g(T) = 0\big) \geq P_{N}\big(T \in \{0, 1, \dots, N\}\big) = 1[/texx]


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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 19/07/2017, 05:32:26 am »

Hola

 Creo que está bien.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 19/07/2017, 11:44:18 am »

¡¡Al fin!!

Gracias, el_manco.
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