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Autor Tema: probability  (Leído 208 veces)
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jacks
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« : 05/07/2017, 01:15:49 am »

What is the probability that a continuous function [texx]f:[0,1]\to[0,1][/texx] has no fixed point.
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 05/07/2017, 04:43:44 am »

Every such function has a fixed point.
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statistic_man
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« Respuesta #2 : 05/07/2017, 11:16:34 am »

The probability is 0. You can use to proof it the following:

Define the function [texx]h: [0,1] \longrightarrow [0,1] [/texx] as [texx] h(x)=f(x)-x  [/texx]. Obviously is a continuous function, because f is continuous and x too.

Also, we have:

- [texx]h(0)=f(0)-0 \geq 0 [/texx] because f is defined from [0,1] to [0,1].
- [texx]h(1)=f(1)-1 \leq 0 [/texx]

So, using Bolzano´s theorem we can say that there is a [texx]c \in [0,1] [/texx] with the property that [texx] h(c)=0 [/texx], that means [texx]f(c)=c[/texx].
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jacks
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« Respuesta #3 : 15/07/2017, 12:03:15 am »

Thanks moderator and statistic-man
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