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Autor Tema: Medidas que coinciden sobre los borelianos  (Leído 205 veces)
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Ian Bounos
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« : 04/07/2017, 04:08:20 pm »

Hola

Tengo una duda que no logro responderme. Sea [texx] (X,\Sigma) [/texx] un espacio medible que además está dotado de una distancia. Si dos medidas sobre dicho espacio coinciden sobre los borelianos, ¿son necesariamente iguales?
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« Respuesta #1 : 05/07/2017, 07:42:48 pm »

Hola Ian Bounos.

 Hmmm... ¿Cuál es la sigma-álgebra que estás considerando en el espacio métrico? Si es la sigma-álgebra de los Borelianos (la misma para ambas medidas) tu pregunta es medio tautológica, pues las medidas coincidirían en cada elemento medible y por tanto serían iguales.

 Si no estás considerando la misma sigma álgebra paraa cada medida, la respuesta es que en general no. Por ejemplo en la recta, la medida que se obtiene en los borelianos que es generada al extender a los borelianos la condición [texx]\mu([a,b])=b-a[/texx] para todo [texx]a\leq b[/texx] no es una medida completa, pero coincide, en los borelianos, con la medida de Lebesgue en [texx]\mathbb{R}[/texx] que sí es completa (nota que en este ejemplo las sigma-álgebras sobre las que definimos cada medida son diferentes).

Saludos,

Enrique.
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Ian Bounos
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« Respuesta #2 : 05/07/2017, 08:00:49 pm »

Hola EnRiquE

Me refiero a cualquier sigma álgebra en general. Naturalmente, los casos que me interesan son aquellos que contienen estrictamente a los borelianos.
Además, pido que estén definidas sobre la misma sigma álgebra.  Reformulando la pregunta: ¿una medida definida en los borelianos de cualquier espacio métrico medible, puede tener dos extensiones distintas definidas en una misma sigma álgebra?
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« Respuesta #3 : 07/07/2017, 11:25:40 am »

Hola Ian Bounos.

 Ya veo. En este caso no tengo una respuesta satisfactoria por el momento. Imagino que depende si el completamiento (que llamaré [texx]\bar{\cal B},[/texx] donde [texx]{\cal B}[/texx] son los borelianos del espacio) de la sigma-álgebra de los borelianos contiene a la sigma-álgebra donde están definidas las medidas. Pues si suponemos que la sigma-álgebra [texx]\cal F[/texx] es donde están definidas las medidas [texx]\mu[/texx] y [texx]\nu,[/texx] gracias al teorema 4.3 de este libro tenemos que en caso [texx]{\cal F}\subset\bar{\cal B}[/texx] las medidas [texx]\mu[/texx] y [texx]\nu[/texx] coinciden.

 Si el espacio no fuera un espacio métrico, si no únicamente topológico, no es muy difícil construir ejemplos de topologías no Hausdorff donde las medidas [texx]\mu[/texx] y [texx]\nu[/texx] sean diferentes en [texx]{\cal F}[/texx] cuando esta sigma-álgebra contiene estrictamente a [texx]\bar{\cal B}.[/texx] En el caso que mencionas tenemos que estudiar qué sucede si [texx]\cal F\setminus\bar{\cal B}\neq\emptyset[/texx] y [texx]{\cal B}[/texx] son los borelianos generados por una métrica. Si se me ocurre algún ejemplo o consigo ver qué condiciones necesarias implican que [texx]\mu[/texx] y [texx]\nu[/texx] sean iguales, escribo otra respuesta en estos días.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 12/07/2017, 09:05:44 pm »

Hola Ian Bounos.

 Agrego algo de información e ideas relacionadas con tu duda.

 Un posible camino para construir un contraejemplo es extender la medida de Lebesgue [texx]\lambda[/texx] en [texx][0,1][/texx] a todos los subconjuntos de [texx][0,1][/texx] (en un principio creí que podría usarse el axioma de elección o el lema de Zorn para conseguirlo). Pues si se consigue una extensión extensión [texx]\mu[/texx] de [texx]\lambda[/texx] en todos los subconjuntos de [texx][0,1],[/texx] esta extensión no puede ser invariante por traslaciones. Luego definiendo [texx]\nu(A):=\mu(A+r\mod1)[/texx] tendremos que [texx]\nu[/texx] y [texx]\mu[/texx] son extensiones de [texx]\lambda[/texx] en todos los subconjuntos de [texx][0,1],[/texx] pero para un conveniente [texx]r[/texx] tendremos que [texx]\nu[/texx] y [texx]\mu[/texx] son diferentes (pero coincidiendo en los borelianos).

 La dificultad del anterior argumento es que puede que encontrar una tal extensión [texx]\mu[/texx] usando el sistema axiomático ZFC sea imposible. Digo puede, porque no se, no estoy seguro, no me muevo bien en teoría de conjuntos  :avergonzado:. Mis sospechas se basan en el teorema 1.12.44 de este libro. Por otro lado, la existencia de una extensión como [texx]\mu[/texx] entra en conflicto con la hipótesis del continuo (ver corolario 5.2 de este otro libro); pero la hipótesis del continuo es independiente de ZFC, así que tal vez la existencia de [texx]\mu[/texx] sea compatible con ZFC y pueda que el ejemplo que buscamos sea parte un sistema axiomático consistente que contiene a ZFC.

 En fin, al principio creí que buscar un contraejemplo extendiendo la medida de Lebesgue sería más fácil. Probablemente esto sea un hecho conocido, pero como mencioné antes no se mucho de teoría de conjuntos y tampoco se de teoría de cardinales. Luego de hacer una búsqueda por la red he encontrado este enlace y este otro donde se discute sobre la extensión de la medida de Lebesgue, no los he leído con detenimiento, si te interesa el tema espero que te ayuden a entenderlo mejor.

 Ojalá alguien más pueda dar más luces respecto a lo que comento en este mensaje, lamentablemente estos días ando de "vacaciones" y mi tiempo para pensar y en la red es muy limitado  :cara_de_queso:.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #5 : 15/07/2017, 05:59:16 pm »

Muchas gracias por la respuesta EnRIquE. Estos días voy a leer todo con detenimiento.

Saludos
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