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Autor Tema: \(\ell_0\) no es un espacio de Hilbert.  (Leído 176 veces)
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Francois
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« : 04/07/2017, 12:41:01 pm »

Buenas que tal.
Estoy intentando resolver el siguiente problema.


Problema
Sea [texx]X=\ell_0[/texx] , el espacio vectorial de las secuencias [texx]x=(x_n)[/texx]de números reales

tales que [texx]x_k\neq 0[/texx] solo para un número finito de k's . Para [texx]x=(x_n)[/texx] y [texx]y=(y_n)[/texx] en [texx]X [/texx]

 [texx]\langle x,y \rangle=\displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{i=1}}x_{i}y_{i}[/texx]

Demuestre que [texx](X,\langle -,- \rangle)[/texx] es un espacio con producto interno. Pruebe además que

[texx]X [/texx] no es un espacio de Hilbert con este producto interno.


Dudas
1) Ya probé que cumple las propiedades de producto interno. Pero como justificaría que está bien definido ese producto interno?

2) Para probar que no es Hilbert , supongo que debe fallar que no es BANACH ,y para eso debo tomar una sucesión
    de Cauchy , que converge a una sucesión y esta no se encuentre en [texx]\ell_0[/texx], pero como debo tomar esa sucesión?

    En [texx]\ell_0[/texx] quisiera considerar esta sucesión [texx]\dfrac{1}{n}[/texx] que es la única de Cauchy
      que  se de memoria  :sonrisa_amplia:.

     Y ella converge a cero , y leste cero lo debo considerar como una sucesión nula ? Y así este no está en [texx]\ell_0[/texx]

     Es así correcto? o Hay que detallar  mejor esa sucesión y su convergencia?

Muchas gracias por la ayuda.

Saludos!
   
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EnRlquE
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« Respuesta #1 : 05/07/2017, 07:21:34 pm »

Hola Francois.

 ¿A qué te refieres con que el producto interno esté bien definido?, al ser los elementos de [texx]\ell_{0}[/texx] los que intervienen en [texx]\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i},[/texx] siempre tendremos una suma finita de términos que siempre nos dará un número real.

 Sobre probar que el espacio no es completo, consideremos la sucesión [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}\subset\ell_{0}[/texx] definida por [texx]x_{n}=(1,1/2,1/3,\dots,1/n,0,\dots,0,\dots)[/texx] podemos verificar que para [texx]n\geq m[/texx] vale la igualdad [texx]\|x_{n}-x_{m}\|^{2}=\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k^{2}}.[/texx] La parte derecha de la última igualdad tiende a cero cuando [texx]n,m\to\infty,[/texx] luego [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/texx] es de Cauchy. Sin embargo la sucesión no converge a ningún punto de [texx]\ell_{0}.[/texx] Trata de probar esto último; para ello puedes usar la definición de [texx]\ell_{0}[/texx] para ver que si [texx]\bar{x}\in\ell_{0}[/texx] fuera un límite de la sucesión (supongamos que sólo los [texx]r[/texx] primeros términos contienen a todos los términos no nulos de [texx]\bar{x}[/texx]), entonces [texx]\|x_{n}-\bar{x}\|^{2}\geq a_{n},[/texx] donde [texx]a_{n}\to\sum_{i=r+1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}>0.[/texx]

 Si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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Francois
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« Respuesta #2 : 08/07/2017, 10:44:01 pm »

Hola EnRIquE gracias por tu respuesta.

Te quería consultar algo sobre ese espacio [texx]\ell_0[/texx].

Por la definición que tiene entonces no tiene elemento nulo?

Pues el [texx](0,0,0,\ldots)\not\in{\ell_0}[/texx] o sea no es un espacio vectorial?

Aparte quería saber que si bien es cierto [texx](x)_n=(1,1/2,/1/3,...,1/n,0,0,...,0,...)[/texx] es de Cauchy.

Pero esta sucesión es convergente? y de ser así converge a donde?





Saludos!
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 10/07/2017, 04:51:13 am »

Hola

Hola EnRIquE gracias por tu respuesta.

Te quería consultar algo sobre ese espacio [texx]\ell_0[/texx].

Por la definición que tiene entonces no tiene elemento nulo?

Pues el [texx](0,0,0,\ldots)\not\in{\ell_0}[/texx] o sea no es un espacio vectorial?

¡No!. La sucesión cero SI que está en [texx]\ell_0[/texx]. Fíjate que los elementos de [texx]\ell_0[/texx] son sucesiones con todos los elementos números salvo un número finito de ellos; en el caso de la sucesión cero son todos nulos salvo cero (un número finito) de ellos.

Cita
Aparte quería saber que si bien es cierto [texx](x)_n=(1,1/2,/1/3,...,1/n,0,0,...,0,...)[/texx] es de Cauchy.

Pero esta sucesión es convergente? y de ser así converge a donde?

No es convergente. Precisamente  EnRlquE te está dando un ejemplo de sucesión de Cauchy que NO converge, lo cuál muestra que el espacio no es completo.

Te ha escrito el argumento para probar que NO es convergente:

Sin embargo la sucesión no converge a ningún punto de [texx]\ell_{0}.[/texx] Trata de probar esto último; para ello puedes usar la definición de [texx]\ell_{0}[/texx] para ver que si [texx]\bar{x}\in\ell_{0}[/texx] fuera un límite de la sucesión (supongamos que sólo los [texx]r[/texx] primeros términos contienen a todos los términos no nulos de [texx]\bar{x}[/texx]), entonces [texx]\|x_{n}-\bar{x}\|^{2}\geq a_{n},[/texx] donde [texx]a_{n}\to\sum_{i=r+1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}>0.[/texx].

Indica las dudas concretas sobre ese argumento.

Saludos.
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Francois
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« Respuesta #4 : 14/07/2017, 11:50:42 pm »

Sea un elemento de [texx]\ell_{0}[/texx], [texx]x_{n}=(1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},\ldots,\displaystyle\frac{1}{n},0,0,\ldots)[/texx]

Si [texx]n<m[/texx]

[texx]\|x_{n}-x_{m}\|^{2}=\|(1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},\ldots,\displaystyle\frac{1}{n},0,0,\ldots)-(1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},\ldots,\displaystyle\frac{1}{m},0,0,\ldots)\|^{2}[/texx]

                   [texx]=\|(0,0,0,\ldots,\displaystyle\frac{1}{n+1},\displaystyle\frac{1}{n+2},\ldots,\displaystyle\frac{1}{m},0,\ldots\|^{2}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^m{\displaystyle\frac{1}{k^2}}\leq{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{k^2}}}[/texx]

Como esta última serie [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{k^2}}[/texx] es convergente entonces por propiedad de series [texx]\displaystyle\sum_{k=n+1}^m{\displaystyle\frac{1}{k^2}}[/texx] será convergente.

Por tanto se tiene que la sucesión de suceiones [texx](x_{n})[/texx] es una sucesión de Cauchy.


Veamos que esta sucesión de Cauchy no converge.

Si suponemos que [texx](x_{n})[/texx] es convergente esta convergería a  la sucesión[texx] \displaystyle\frac{1}{n}[/texx]

Porque [texx](x_{n})=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n},\ldots)[/texx] donde cada elemento de la sucesión es de la forma

          [texx] x_{1}=(1,0,0,\ldots)[/texx]
          [texx] x_{2}=(1,\displaystyle\frac{1}{2},0,0,\ldots)[/texx]
                     [texx] \vdots[/texx]
          [texx] x_{n}=(1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},\ldots,\displaystyle\frac{1}{n},0,\ldots)[/texx]
                     [texx] \vdots[/texx]

Y como [texx] \displaystyle\frac{1}{n}\not\in{\ell_{0}}[/texx] se concluye que [texx]\ell_{0}[/texx] no es completo por lo tanto no es Hilbert.


Es correcto de esta manera? Porque sinceramente no entiendo bien lo que me recomienda probar EnRIquE.
O si se puede esto mejorar porque lo hice de una manera no muy matemática que digamos.

Saludos!




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EnRlquE
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« Respuesta #5 : 15/07/2017, 04:53:27 pm »

Hola Francois.

 Deberías tratar de ser específico en cuanto a lo que no entiendes de la anterior respuesta que te dí. Lo que estamos haciendo para resolver el problema es mostrar que hay una sucesión [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}\subset\ell_{0}[/texx] que es una sucesión de Cauchy, pero que no es convergente. Es importante que notes que en este problema, los elementos de la sucesión son sucesiones en sí mismas, y que las estamos escribiendo como una secuencia ordenada de números. Por ejemplo [texx]x_{1}=(1,0,0,\dots),\;x_{2}=(1,1/2,0,0,\dots)[/texx] y así sucesivamente.

 Para ver que una sucesión es de cauchy hay que mostrar que [texx]\|x_{n}-x_{m}\|[/texx] tiende a cero cuando [texx]n,m\to 0.[/texx] En la solución que haces ésto no queda claro, pues únicamente afirmas:

Como esta última serie [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{k^2}}[/texx] es convergente entonces por propiedad de series [texx]\displaystyle\sum_{k=n+1}^m{\displaystyle\frac{1}{k^2}}[/texx] será convergente.

Por tanto se tiene que la sucesión de suceiones [texx](x_{n})[/texx] es una sucesión de Cauchy.

y lo que escribes (la parte resaltada en azul) no dice que [texx]\|x_{n}-x_{m}\|[/texx] tienda a cero (cuando [texx]n,m\to 0[/texx])

 Por otro lado, imagino que aquí

Cita
Si suponemos que [texx](x_{n})[/texx] es convergente esta convergería a  la sucesión[texx] \displaystyle\frac{1}{n}[/texx]

quieres decir que [texx](x_{n})_{n}[/texx] debería converger a [texx](1,1/2,1/3,\dots,1/n,\dots)[/texx] (nota la diferencia entre este elemento y el número [texx]1/n[/texx]), pero la argumentación que das, no prueba nada, por más intuitiva que pueda parecer. De hecho este elemento no pertenece a [texx]\ell_{0},[/texx] de modo que estaríamos diciendo que [texx](x_{n})_{n}[/texx] no converge porque converge a un elemento fuera del espacio [texx]\ell_{0},[/texx] esto no tiene sentido.

 Una estrategia para probar que una sucesión de Cauchy no es convegente es suponer que la sucesión converge a un elemento [texx]\bar{x}[/texx] del espacio ([texx]\ell_{0}[/texx] en nuestro caso) y luego llegar a una contradicción. Esto es lo que te propongo en mi anterior respuesta. Nota que en este caso tenemos la ventaja de saber que [texx]\bar{x}\in\ell_{0},[/texx] esto nos ayuda a poder hacer algunos cálculos y sacar conclusiones concretas al combinarlo con los los demás datos del problema.

 En nuestro problema, siguiendo lo que te sugerí antes tenemos que si suponemos que [texx]\bar{x}=(t_{1},t_{2},t_{3},\dots,t_{r},0,0,\dots)=\lim_{n\to\infty}x_{n},[/texx] entonces para [texx]n>r[/texx] resulta que

[texx]\displaystyle\|x_{n}-\bar{x}\|\geq\sum_{k=r+1}^{n}\frac{1}{k^{2}}.[/texx]

El lado derecho de la anterior desigualdad tiende al número estrictamente positivo [texx]\sum_{k=r+1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}.[/texx] En particular esto implica que [texx]\|x_{n}-\bar{x}\|[/texx] no converge a cero cuando [texx]n\to\infty.[/texx] Esto es absurdo porque supusimos que [texx]\bar{x}[/texx] era el límite de la sucesión [texx](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}.[/texx]

 Si te queda alguna duda, pregunta todo lo que necesites hasta comprender la solución del ejercicio y se lo más específico que puedas al expresar tus dudas, esto nos ayuda a darte una respuesta más precisa.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #6 : 16/07/2017, 02:17:34 am »

Muchísimas gracias.

Ya lo entiendo :sonrisa_amplia:


Saludos!
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