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Autor Tema: Continuidad del número de rotación en familia de levantamientos de homeos de S1  (Leído 923 veces)
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pedro diaz
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« : 25/06/2017, 06:08:05 pm »

Estoy considerando la familia [texx]F_a:R \rightarrow R[/texx], [texx]F_a(x)=x+a+sin(2\pi x)[/texx] Probé que [texx]F_a[/texx] es un levantamiento de algún [texx]f_a \in \operatorname{Homeo}(S_1)[/texx].

Ahora quiero probar que [texx]h: [0,1] \rightarrow R, \ h(a) = \rho (F_a)[/texx] es continua y monotona.

Considero:
[texx]\rho (F_a) = lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_a(x)-x)/n[/texx]

Quisiera saber si estoy pensando bien.
Considero que [texx]h[/texx] es continua en [texx]b, b \in [0;1][/texx] si [texx]lim_{a \rightarrow b} h(a) = h(b)[/texx]

Luego

 [texx]lim_{a \rightarrow b} h(a) = lim_{a\rightarrow b}[lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_a(x)-x)/n] = lim_{n\rightarrow \infty}[lim_{a\rightarrow b} (F^n_a(x)-x)/n]= lim_{n\rightarrow \infty} (F^n_b(x)-x)/n] = h(b)[/texx]

Por lo tanto: [texx]h[/texx] es continua en b.
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« Respuesta #1 : 26/06/2017, 07:05:22 pm »

Hola pedro diaz.

 Lo que haces no está bien porque estás intercambiando los límites cuando [texx]n\to\infty[/texx] y cuando [texx]a\to b.[/texx] Esto no siempre se puede hacer, hay ejemplos de funciones continuas [texx]f_{n}[/texx] que convergen puntualmente a funciones que no son continuas.

 En tu caso concreto no me queda clara la definición de [texx]h.[/texx] Tenemos que [texx]h(a)=\rho(F_{a})=\lim_{n\to\infty}\frac{F^{n}_{a}(x)-x}{n},[/texx] imagino que [texx]F^{n}(x)=F\big(F^{n-1}(x)\big),[/texx] es decir el súper índice [texx]n[/texx] indica composición, pero no se cuál es el papel de [texx]x,[/texx] ¿para cada valor de [texx]x[/texx] (fijo) se define una función [texx]h[/texx]? o es que falta algo en la definición de [texx]h.[/texx]

 Bueno, no se, si nos aclaras esto tal vez podamos ayudarte. Saber el nombre (si es que lo tiene) del proceso que permite crear [texx]h[/texx] también ayudaría.

Saludos,

Enrique.
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