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Autor Tema: Coprimos: (a,b)=(a,c)=1 => (a,bc)=1  (Leído 486 veces)
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manooooh
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« : 20/06/2017, 09:30:47 pm »

Hola comunidad!

Me piden decir si la siguiente proposición es verdadera o falsa, demostrando o proponiendo un contraejemplo respectivamente:

[texx]( a, b ) = ( a, c ) = 1 \Rightarrow{( a, b*c ) = 1}[/texx]

Entiéndase que lo que está con [texx]( )[/texx] implica que son coprimos (o primos entre sí).

Hay una implicación, por lo que tengo que demostrar la tesis.

Sé que es verdadera, pero necesito que me ayuden a demostrarla.

Muchas gracias!
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Ian Bounos
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« Respuesta #1 : 20/06/2017, 11:16:02 pm »

Hola

Supongamos que [texx] a [/texx] es coprimo con [texx] b [/texx] y [texx] c [/texx]. Entonces no existe un primo que divida simultáneamente a [texx] a [/texx]  y  a [texx] b  [/texx] o a [texx] c [/texx].

Ahora bien, supongamos que hay un primo [texx] p [/texx] que divide a [texx] a [/texx] y a [texx] bc[/texx]. Pero esto último, como [texx] p [/texx] es primo. implica que divide a [texx] b [/texx] o [texx]a [/texx]. Tenemos un absurdo de suponer que existía tal [texx] p [/texx]. Se concluye que, por lo tanto, [texx] (a,bc) = 1[/texx]

 
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feriva
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« Respuesta #2 : 21/06/2017, 05:33:36 am »

Hola comunidad!

Me piden decir si la siguiente proposición es verdadera o falsa, demostrando o proponiendo un contraejemplo respectivamente:

[texx]( a, b ) = ( a, c ) = 1 \Rightarrow{( a, b*c ) = 1}[/texx]

Entiéndase que lo que está con [texx]( )[/texx] implica que son coprimos (o primos entre sí).

Hay una implicación, por lo que tengo que demostrar la tesis.

Sé que es verdadera, pero necesito que me ayuden a demostrarla.

Muchas gracias!

Hola. Se me ocurre darte una serie de ideas para que compongas tu propia demostración y la cuentes como quieras (sin demostrar nada yo).

(he corregido unos despistes, creo que ya no hay ninguno)

Si [texx](x,y)\neq1
 [/texx], siempre existe algún primo “p” tal que [texx](x,p)=p
 [/texx] y [texx](y,p)=p
 [/texx]

Recíprocamente, si [texx](a,b)=1
 [/texx] no existe ningún “p” tal que [texx](a,p)=p
 [/texx] y a la vez [texx](b,p)=p[/texx]

Por lo mismo, si [texx](a,c)=1
 [/texx], no existe ningún primo “q” tal que... etc.

Sea [texx]b=pk
 [/texx] donde, sin perder generalidad, “p” es cualquier factor primo de “b”

Análogamente [texx]c=qk
 [/texx], donde “q” es cualquier primo factor de “c”.

Por tanto, si [texx](a,b)=1
 [/texx], entonces [texx](a,p)=1
 [/texx]

De igual modo, si [texx](a,c)=1
 [/texx], entonces [texx](a,q)=1
 [/texx]

Por ello, tenemos que [texx](a,pq)=1
 [/texx]

aquí abajo había otro baile de letras; ya está corregido

Supongamos que [texx](a,bc)\neq1
 [/texx]; entonces, por lo dicho, existe un primo “r” tal que [texx](b,r)=r
 [/texx] y/ó [texx](c,r)=r
 [/texx] y [texx](a,r)=r[/texx]

Dado que, sin perder generalidad, “p” puede ser cualquier factor de “b”, también si perder generalidad podemos hacer [texx]r=p[/texx]...

*Ah, fíjate que en el enunciado también te piden, o te dan como otra opción (eso no me queda muy claro) poner un contraejemplo con números.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 21/09/2017, 06:13:18 pm »

Hola. Perdón por la tardanza en la respuesta.

Hola comunidad!

Me piden decir si la siguiente proposición es verdadera o falsa, demostrando o proponiendo un contraejemplo respectivamente:

[texx]( a, b ) = ( a, c ) = 1 \Rightarrow{( a, b*c ) = 1}[/texx]

Entiéndase que lo que está con [texx]( )[/texx] implica que son coprimos (o primos entre sí).

Hay una implicación, por lo que tengo que demostrar la tesis.

Sé que es verdadera, pero necesito que me ayuden a demostrarla.

Muchas gracias!

Hola. Se me ocurre darte una serie de ideas para que compongas tu propia demostración y la cuentes como quieras (sin demostrar nada yo).

(he corregido unos despistes, creo que ya no hay ninguno)

Si [texx](x,y)\neq1
 [/texx], siempre existe algún primo “p” tal que [texx](x,p)=p
 [/texx] y [texx](y,p)=p
 [/texx]

Recíprocamente, si [texx](a,b)=1
 [/texx] no existe ningún “p” tal que [texx](a,p)=p
 [/texx] y a la vez [texx](b,p)=p[/texx]

Por lo mismo, si [texx](a,c)=1
 [/texx], no existe ningún primo “q” tal que... etc.

Sea [texx]b=pk
 [/texx] donde, sin perder generalidad, “p” es cualquier factor primo de “b”

Análogamente [texx]c=qk
 [/texx], donde “q” es cualquier primo factor de “c”.

Por tanto, si [texx](a,b)=1
 [/texx], entonces [texx](a,p)=1
 [/texx]

De igual modo, si [texx](a,c)=1
 [/texx], entonces [texx](a,q)=1
 [/texx]

Por ello, tenemos que [texx](a,pq)=1
 [/texx]

aquí abajo había otro baile de letras; ya está corregido

Supongamos que [texx](a,bc)\neq1
 [/texx]; entonces, por lo dicho, existe un primo “r” tal que [texx](b,r)=r
 [/texx] y/ó [texx](c,r)=r
 [/texx] y [texx](a,r)=r[/texx]

Dado que, sin perder generalidad, “p” puede ser cualquier factor de “b”, también si perder generalidad podemos hacer [texx]r=p[/texx]...

*Ah, fíjate que en el enunciado también te piden, o te dan como otra opción (eso no me queda muy claro) poner un contraejemplo con números.

Saludos.

Gracias por la respuesta. Viéndola, se me ocurre simplificarla solamente escribiendo que [texx]b = pk_1[/texx], donde [texx]p[/texx] es algún factor primo de [texx]b[/texx], y lo mismo con [texx]c = qk_2[/texx]. Entonces si [texx](a, b) = 1 \Longrightarrow{} (a, p) = 1[/texx], y lo mismo para [texx](a,c)[/texx]. Luego [texx](a, pq) = 1[/texx], donde [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] mantienen las mismas propiedades que [texx]b[/texx] y [texx]c[/texx].

*Ah, fíjate que en el enunciado también te piden, o te dan como otra opción (eso no me queda muy claro) poner un contraejemplo con números.
Hace alusión a demostrar la proposición en caso de que sea verdadera o proponer un contraejemplo en caso de que sea falsa.



Hola

Supongamos que [texx] a [/texx] es coprimo con [texx] b [/texx] y [texx] c [/texx]. Entonces no existe un primo que divida simultáneamente a [texx] a [/texx]  y  a [texx] b  [/texx] o a [texx] c [/texx].

Ahora bien, supongamos que hay un primo [texx] p [/texx] que divide a [texx] a [/texx] y a [texx] bc[/texx]. Pero esto último, como [texx] p [/texx] es primo. implica que divide a [texx] b [/texx] o [texx]a [/texx]. Tenemos un absurdo de suponer que existía tal [texx] p [/texx]. Se concluye que, por lo tanto, [texx] (a,bc) = 1[/texx]

Esto me queda un poquito más claro. Gracias!
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #4 : 22/09/2017, 09:46:12 am »

Otro camino tenemos:  (Que es parecido a lo que propone Ian Bounos):

[texx] 1 = a \cdot m + b \cdot n [/texx] (podríamos haber usado  [texx] 1 = a \cdot s + c \cdot t [/texx]

Entonces:

[texx] 1 = a \cdot m + b \cdot n [/texx] multiplico por [texx]c [/texx].

[texx] c = a \cdot c \cdot m + (bc) \cdot n [/texx]

Editado

Si [texx]a[/texx] y [texx]bc[/texx] comparten un divisor positivo [texx]d \color{red} > 1 \color{black}[/texx] entonces [texx]d|c[/texx] y esto es falso por [texx](a,c)=1[/texx]
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« Respuesta #5 : 22/09/2017, 11:30:34 am »

Otro camino tenemos:  (Que es parecido a lo que propone Ian Bounos):

[texx] 1 = a \cdot m + b \cdot n [/texx] (podríamos haber usado  [texx] 1 = a \cdot s + c \cdot t [/texx]

Entonces:

[texx] 1 = a \cdot m + b \cdot n [/texx] multiplico por [texx]c [/texx].

[texx] c = a \cdot c \cdot m + (bc) \cdot n [/texx]

Si [texx]a[/texx] y [texx]bc[/texx] comparten un divisor positivo [texx]d[/texx] entonces [texx]d|c[/texx] y esto es falso por [texx](a,c)=1[/texx]


Hola, y con ésto qué resolvés? Demostraste que es verdadera? No le veo explicación a por qué la suma de dos términos tiene que ser [texx]1[/texx].
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« Respuesta #6 : 22/09/2017, 01:07:09 pm »

Perdón manooooh supuse que sabías esa identidad,te la pongo :

Identidad de Bézout

Como [texx](a,b)=1[/texx] entonces existen [texx]m,n \in \mathbb{Z} [/texx] con:

[texx] 1 = a \cdot m + b \cdot n [/texx].

Entonces si [texx] (a,bc) [/texx]  tienen un divisor en común [texx] d > 1 [/texx],entonces también lo tendrá [texx]a [/texx] y [texx]c[/texx] y esto es falso por ser [texx](a,c)=1[/texx]
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« Respuesta #7 : 06/01/2018, 08:00:22 pm »

Muchas gracias a todos!

Revivo este tema porque hace unos días leí la biografía del gran genio Euclides (el cual no sabemos mucho sobre su vida, solamente el legado matemático que dejó) y noto que este ejercicio en realidad es una proposición que aparece en sus Elementos... ¡Quedé asombrado! En la universidad me han hecho demostrar una proposición de Euclides!

Se trata de la proposición 24 del libro VII:





Y la demostración que dio Euclides (supuestamente) se puede encontrar en el siguiente enlace:

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookVII/propVII24.html



Un saludo!

* IMG_20180106_195028.jpg (1728.38 KB - descargado 45 veces.)
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