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Autor Tema: Volumen de revolucion  (Leído 180 veces)
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rompars
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« : 19/06/2017, 05:56:02 pm »

Tengo este ejercicio, tengo 2 resultados y no se cual de los 2 esta bueno o están ambos malos. Determinar el volumen generado por el método del disco y corteza(capas) el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región R acotada por las gráficas de las funciones [texx]y=x^2+4, y=8[/texx] en torno al [texx]eje x[/texx]

El primer resultado que si considero una capa paralela al eje x me da [texx]2π\displaystyle\int_{4}^{8}y(2\sqrt[ ]{y-4})dy[/texx] y coloco 2*f(y) porque la altura del cilindro es 2 veces la función.

El 2do resultado es considerar una capa paralela al eje y y me da [texx]2π\displaystyle\int_{-2}^{2}8(8-(x^2+4))dx[/texx] y coloco 8*(8-f(x)) porque el radio es 8 y 8-f(x) es el largo de la capa.

Hice con calculadora los 2 y no dan lo mismo, no se que más hacer, que opinan?
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 07:04:44 pm »

Hola.        Editado.
por el método del disco es el volumen del solido generado por la rotación de y=8 entorno al eje x menos el volumen de [texx]y=x^2+4[/texx]

El volumen generado por y=8 es

[texx]V_1=\displaystyle\int_{-{\color{blue}2}}^{2}\pi (8)^2\; dx[/texx]

Algo importante es que veas el integrando

[texx]dV_1=\pi (8)^2\; dx[/texx]        como el volumen de un "microcilindro" , un disco, donde 8 es el radio y dx la altura. Cuando integras sumas el volumen de todos esos microcilindros.

El volumen generado por [texx]y=x^2+4[/texx] es

[texx]V_2=\displaystyle\int_{-{\color{blue}2}}^{2}\pi (x^2+4)^2\; dx[/texx]

Podemos unir las integrales


[texx]V=\pi\displaystyle\int_{-{\color{blue}2}}^{2} (8)^2- (x^2+4)^2\; dx[/texx]
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 07:10:54 pm »

Hola
por el método del disco es el volumen del solido generado por la rotación de y=8 entorno al eje x menos el volumen de [texx]y=x^2+4[/texx]

El volumen generado por y=8 es

[texx]V_1=\displaystyle\int_{-1}^{2}\pi (8)^2\; dx[/texx]

Algo importante es que veas el integrando

[texx]dV_1=\pi (8)^2\; dx[/texx]        como el volumen de un "microcilindro" , un disco, donde 8 es el radio y dx la altura. Cuando integras sumas el volumen de todos esos microcilindros.

El volumen generado por [texx]y=x^2+4[/texx] es

[texx]V_1=\displaystyle\int_{-1}^{2}\pi (x^2+4)^2\; dx[/texx]

Podemos unir las integrales


[texx]V_1=\pi\displaystyle\int_{-1}^{2} (8)^2- (x^2+4)^2\; dx[/texx]


No será en V1 la integral que va desde -2 hasta 2? en esos puntos coinciden ambas gráficas
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ilarrosa
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« Respuesta #3 : 19/06/2017, 07:20:40 pm »

Hola
por el método del disco es el volumen del solido generado por la rotación de y=8 entorno al eje x menos el volumen de [texx]y=x^2+4[/texx]

El volumen generado por y=8 es

[texx]V_1=\displaystyle\int_{-1}^{2}\pi (8)^2\; dx[/texx]

Algo importante es que veas el integrando

[texx]dV_1=\pi (8)^2\; dx[/texx]        como el volumen de un "microcilindro" , un disco, donde 8 es el radio y dx la altura. Cuando integras sumas el volumen de todos esos microcilindros.

El volumen generado por [texx]y=x^2+4[/texx] es

[texx]V_1=\displaystyle\int_{-1}^{2}\pi (x^2+4)^2\; dx[/texx]

Podemos unir las integrales


[texx]V_1=\pi\displaystyle\int_{-1}^{2} (8)^2- (x^2+4)^2\; dx[/texx]


Pero la integral es en [texx][-2, 2][/texx]. También se puede aprovechar la simetría y hacerla en [0, 2] y multiplicar por 2, que siempre facilita la aplicación de la regla de Barrow:


[texx]V_1=\pi\displaystyle\int_{-2}^{2} (8)^2- (x^2+4)^2\; dx = 2\pi\displaystyle\int_{0}^{2} (8)^2- (x^2+4)^2\; dx[/texx]

Saludos,
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« Respuesta #4 : 19/06/2017, 07:36:50 pm »

Sí, sí a ambos estoy desde el móvil y es fácil no atinar al número, y al copiar y pegar..., ahora lo corrijo.

Corrección


En cuanto al método de capas puedes ver el diferencial de volumen como un prisma cuya área de base es

[texx]da=2\sqrt{y-4}dy[/texx] y la altura es [texx]2\pi y[/texx], entonces la integral nos queda

[texx]V=4\pi\displaystyle\int_{\bf\color{red}4}^{8}y\sqrt{y-4}dy[/texx]


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« Respuesta #5 : 19/06/2017, 07:40:23 pm »

Sí, sí a ambos estoy desde el móvil y es fácil no atinar al número, y al copiar y pegar..., ahora lo corrijo.

En cuanto al método de capas puedes ver el diferencial de volumen como un prisma cuya área de base es

[texx]da=2\sqrt{y-4}dy[/texx] y la altura es [texx]2\pi y[/texx], entonces la integral nos queda

[texx]V=4\pi\displaystyle\int_{0}^{8}y\sqrt{y-4}dy[/texx]


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Eso mismo planteo yo, pero desde 4 a 8 porque en desde [texx][0,4)[/texx] se indetermina en los reales
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« Respuesta #6 : 19/06/2017, 07:55:39 pm »

Este sí fue un error, sí debe ser de 4 a 8. Que tonto fui dibuje la parábola con su vértice en el origen :BangHead:

Comprueba que dan el mismo resultado.
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« Respuesta #7 : 19/06/2017, 08:09:25 pm »

Algo estás haciendo mal, mira





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* Screenshot_2017-06-19-17-04-31.png (92.75 KB - descargado 24 veces.)
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« Respuesta #8 : 19/06/2017, 08:23:51 pm »

Había borrado mi mensaje porque yo me equivoque al meter mal los datos a la calculadora.. pero lo hago yo de nuevo y no me sigue dando, subiré mi desarrollo
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« Respuesta #9 : 19/06/2017, 08:31:07 pm »

Este sí fue un error, sí debe ser de 4 a 8. Que tonto fui dibuje la parábola con su vértice en el origen :BangHead:

Comprueba que dan el mismo resultado.

Lo hago con calculadora y no dan lo mismo :/ el de disco da 174,.. y el 2do 428,93..

Si que dan lo mismo, [texx]\displaystyle\frac{2048\pi}{15}\approx{}428.9321[/texx]. Pienso que siempre es preferible dar resultados exactos expresados simbólicamente y además, si es menester, aproximarlos.

Veamos:

1. Por discos

El elemento diferencial de volumen puede considerarse una corona circular de radio exterior 8 e interior x^2 + 4 estirada una altura dx. El volumen es entonces

[texx]V = \pi\displaystyle\int_{-2}^{2}(8^2 - (x^2+4)^2)\,dx = 2\pi\displaystyle\int_{0}^{2}(48 - 8x^2 - x^4)\,dx = 2\pi\left |{48x-\dfrac{ 8x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}}\right |_0^2 = 2\pi\left(96 - \dfrac{64}{3} - \dfrac{32}{5}\right)= \displaystyle\frac{2048\pi}{15}[/texx]

2. Por tubos

El elemento diferencial son tubos cilíndricos de altura [texx]2\sqrt[ ]{y-4},\textrm{ radio }y\textrm{ y espesor }dy[/texx], con y variando en [4, 8]:

[texx]V = 4\pi\displaystyle\int_{4}^{8}y\sqrt[ ]{y-4}\,dy[/texx]

Efectuando el cambio [texx]y - 4 = t^2, dy = 2t\,dt, y = 4 \rightarrow{}t = 0, y = 8\rightarrow{}y = 2[/texx], nos queda:

[texx]V = 4\pi \displaystyle \int_{0}^{2}(t^2+4)t\cdot{}2t\,dt  = 8\pi\displaystyle\int_{0}^{2}(t^4 + 4t^2)\,dt = 8\pi \left |{\dfrac{t^5}{5} + \dfrac{4t^3}{3}}\right |_0^2

=8\pi\left(\dfrac{32}{5} + \dfrac{32}{3} \right) = \displaystyle\frac{2048\pi}{15}[/texx]

Saludos,
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« Respuesta #10 : 19/06/2017, 08:59:15 pm »

Muchas gracias por sus respuestas, aqui dejo mi desarrollo, la idea mia fue dejar los microcilindros como volumen de un prisma rectangular.


* 20170619_195339.jpg (839.83 KB - descargado 23 veces.)
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« Respuesta #11 : 19/06/2017, 09:02:34 pm »

Había borrado mi mensaje porque yo me equivoque al meter mal los datos a la calculadora.. pero lo hago yo de nuevo y no me sigue dando, subiré mi desarrollo


Yo me equivoqué varias veces y no borré mis mensajes, ¿ya leíste las reglas?

Mira

Cita
1.5. El borrado o modificación radical de mensajes que deje descontextualizadas las respuestas dadas a los mismos será considerado como un acto vandálico contra el foro y supondrá la expulsión de éste. Para eliminar un mensaje de un hilo será necesario solicitarlo a un Administrador, quien resolverá al respecto.

No lo hagas más.




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« Respuesta #12 : 20/06/2017, 02:09:05 am »

Muchas gracias por s9us respuestas, aqui dejo mi desarrollo, la idea mia fue dejar los microcilindros como volumen de un prisma rectang



Pero r vale 8 solo a un lado del prisma. ¿verdad?

La integral no es correcta.

Saludos
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« Respuesta #13 : 20/06/2017, 03:42:47 am »

Muchas gracias por sus respuestas, aqui dejo mi desarrollo, la idea mia fue dejar los microcilindros como volumen de un prisma rectangular.

Lo que tomas realmente como diferencial de volumen es un cilindro hueco, cuyo volumen será el área de la base por la altura. Pero el área de la base es la diferencia de áreas del círculo mayor, de radio [texx]8[/texx], y el menor, de radio [texx]y = x^2 + 4[/texx].

Para poderlo calcular como tu haces, como si lo cortases paralelamente al eje y lo desenrollases, su espesor tiene que ser diferencial, como se ha hecho por el otro procedimiento. O bien aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin y utilizar como radio el de la circunferencia descrita por el centro de gravedad, centro geométrico en realidad, del área que gira. También es posible hacerlo así, desde luego. Fijate que el centro de gravedad del rectángulo que gira estaría a la mitad de su altura, por lo que el radio sería:

[texx]r = \displaystyle\frac{8+(x^2+4)}{2}[/texx]

con lo que el volumen de cada anillo sería

[texx]dV = 2\pi\displaystyle\frac{8+(x^2+4)}{2}(8 - (x^2 + 4))\,dx[/texx]

Y el volumen completo

[texx]V = \pi\displaystyle\int_{-2}^{2}(8+x^2+4))(8 - (x^2 + 4))\,dx = \pi\displaystyle\int_{0}^{2}(8^2 - (x^2 + 4)^2)\,dx[/texx]

Exactamente igual que lo calculado anterior,mente por discos, porque en realidad estamos utilizando el mismo elemento diferencial de volumen, aunque calculando su volumen por dos procedimientos distintos., pero lógicamente el mismo resultado.

Saludos,
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« Respuesta #14 : 20/06/2017, 02:26:35 pm »

Muchas gracias por sus respuestas, aqui dejo mi desarrollo, la idea mia fue dejar los microcilindros como volumen de un prisma rectangular.

Lo que tomas realmente como diferencial de volumen es un cilindro hueco, cuyo volumen será el área de la base por la altura. Pero el área de la base es la diferencia de áreas del círculo mayor, de radio [texx]8[/texx], y el menor, de radio [texx]y = x^2 + 4[/texx].

Para poderlo calcular como tu haces, como si lo cortases paralelamente al eje y lo desenrollases, su espesor tiene que ser diferencial, como se ha hecho por el otro procedimiento. O bien aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin y utilizar como radio el de la circunferencia descrita por el centro de gravedad, centro geométrico en realidad, del área que gira. También es posible hacerlo así, desde luego. Fijate que el centro de gravedad del rectángulo que gira estaría a la mitad de su altura, por lo que el radio sería:

[texx]r = \displaystyle\frac{8+(x^2+4)}{2}[/texx]

con lo que el volumen de cada anillo sería

[texx]dV = 2\pi\displaystyle\frac{8+(x^2+4)}{2}(8 - (x^2 + 4))\,dx[/texx]

Y el volumen completo

[texx]V = \pi\displaystyle\int_{-2}^{2}(8+x^2+4))(8 - (x^2 + 4))\,dx = \pi\displaystyle\int_{0}^{2}(8^2 - (x^2 + 4)^2)\,dx[/texx]

Exactamente igual que lo calculado anterior,mente por discos, porque en realidad estamos utilizando el mismo elemento diferencial de volumen, aunque calculando su volumen por dos procedimientos distintos., pero lógicamente el mismo resultado.

Saludos,

Ok gracias, yo no he estudiado el teorema de pappus goldin, asi que no se aplicarlo en este caso, la idea era hacerlo cortando paralelo al eje y y cada cilindro con su agujero ir sacandole su volumen como traté de hacerlo, donde el perimetro de cada cilindro va a ser [texx]2πr[/texx] donde [texx]r=8[/texx] porque cada corte va a girar en torno al eje x y entonces el cilindro lo "recorto" al medio quedando un prisma cuyo largo va a ser el perimetro del cilindro, la altura el [texx]dx[/texx] y el ancho el radio pequeño que es [texx]8-f(x)[/texx]
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« Respuesta #15 : 20/06/2017, 03:07:52 pm »

Ok gracias, yo no he estudiado el teorema de pappus goldin, asi que no se aplicarlo en este caso, la idea era hacerlo cortando paralelo al eje y y cada cilindro con su agujero ir sacandole su volumen como traté de hacerlo, donde el perimetro de cada cilindro va a ser [texx]2πr[/texx] donde [texx]r=8[/texx] porque cada corte va a girar en torno al eje x y entonces el cilindro lo "recorto" al medio quedando un prisma cuyo largo va a ser el perimetro del cilindro, la altura el [texx]dx[/texx] y el ancho el radio pequeño que es [texx]8-f(x)[/texx]

El problema es que tu tienes un cilindro hueco, le haces un corte paralelo a su eje y lo 'enderezas' para obtener un prisma. Pero las caras opuestas del prisma no tienen la misma longitud: una tiene la longitud del perímetro exterior y otra la del interior, que son bien diferentes. Si esto lo hiciéramos realmente con un material moldeable, la parte exterior debería encogerse y la interior alargarse, para finalmente quedar igualadas. Lo que en definitiva dice el Teorema de Pappus-Guldin es que estas deformaciones se compensan exactamente, resultando un prisma que tendría como altura justamente el perímetro de la circunferencia que recorre el centro geométrico de la figura que gira, la base de ese prisma que consideras.

Cuando se realiza la integración por tubos, el espesor de estos tubos es [texx]dy[/texx], digamos mejor en principio [texx]\Delta\,y[/texx], la parte exterior del tubo y la interior no tienen la misma longitud. La diferencia sería [texx]2\pi\Delta\,y[/texx]. Pero lo que estamos haciendo es una integral definida, el límite de una suma de Riemann con los volúmenes de estos tubos, en la que hacemos tender los [texx]\Delta\,y[/texx] a cero y su número a infinito, manteniendo su suma constante. Y para el cálculo del volumen de cada uno de estos tubos podemos escoger cualquier radio en [texx][y, y + \Delta\,y][/texx]. Esto no ocurre en tu planteamiento, en el que la diferencia entre radios exteriores e interiores se mantiene.

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« Respuesta #16 : 20/06/2017, 05:40:57 pm »

Ok gracias, yo no he estudiado el teorema de pappus goldin, asi que no se aplicarlo en este caso, la idea era hacerlo cortando paralelo al eje y y cada cilindro con su agujero ir sacandole su volumen como traté de hacerlo, donde el perimetro de cada cilindro va a ser [texx]2πr[/texx] donde [texx]r=8[/texx] porque cada corte va a girar en torno al eje x y entonces el cilindro lo "recorto" al medio quedando un prisma cuyo largo va a ser el perimetro del cilindro, la altura el [texx]dx[/texx] y el ancho el radio pequeño que es [texx]8-f(x)[/texx]

El problema es que tu tienes un cilindro hueco, le haces un corte paralelo a su eje y lo 'enderezas' para obtener un prisma. Pero las caras opuestas del prisma no tienen la misma longitud: una tiene la longitud del perímetro exterior y otra la del interior, que son bien diferentes. Si esto lo hiciéramos realmente con un material moldeable, la parte exterior debería encogerse y la interior alargarse, para finalmente quedar igualadas. Lo que en definitiva dice el Teorema de Pappus-Guldin es que estas deformaciones se compensan exactamente, resultando un prisma que tendría como altura justamente el perímetro de la circunferencia que recorre el centro geométrico de la figura que gira, la base de ese prisma que consideras.

Cuando se realiza la integración por tubos, el espesor de estos tubos es [texx]dy[/texx], digamos mejor en principio [texx]\Delta\,y[/texx], la parte exterior del tubo y la interior no tienen la misma longitud. La diferencia sería [texx]2\pi\Delta\,y[/texx]. Pero lo que estamos haciendo es una integral definida, el límite de una suma de Riemann con los volúmenes de estos tubos, en la que hacemos tender los [texx]\Delta\,y[/texx] a cero y su número a infinito, manteniendo su suma constante. Y para el cálculo del volumen de cada uno de estos tubos podemos escoger cualquier radio en [texx][y, y + \Delta\,y][/texx]. Esto no ocurre en tu planteamiento, en el que la diferencia entre radios exteriores e interiores se mantiene.

Saludos,

La verdad no entendí eso de que las caras opuestas tienen distinta longitud, en este video descompone el casquete como un prisma y el perímetro interno coincide con el perímetro mayor, aunque por fórmula uno debe ser menor que el otro https://www.youtube.com/watch?v=gsSBukzFp3w
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« Respuesta #17 : 20/06/2017, 06:32:36 pm »

La verdad no entendí eso de que las caras opuestas tienen distinta longitud, en este video descompone el casquete como un prisma y el perímetro interno coincide con el perímetro mayor, aunque por fórmula uno debe ser menor que el otro https://www.youtube.com/watch?v=gsSBukzFp3w

Es lo que te decía, ahí el grosor del 'casquete cilíndrico' es un diferencial sobre el que se acaba realizando la suma de Riemann para obtener la integral. Y aún te hablan del radio medio, lo que no sería estrictamente necesario.

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