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Autor Tema: Cálculo vector dado polinomio mínimo  (Leído 75 veces)
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marcosan
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« : 19/06/2017, 04:54:28 pm »

Buenas noches,

tengo que resolver el siguiente ejercicio y no sé cómo hacerlo.

Dada la matriz [texx]A = \begin{bmatrix}{-1}&{4}&{0}&{0}&{0}\\{-1}&{3}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{2}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}&{0}&{2}\end{bmatrix}[/texx], calcula un vector con polinomio mínimo de grado tres, si existe, o indica por qué no puede existir.


Saludos
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el_manco
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 05:25:59 pm »

Hola

Buenas noches,

tengo que resolver el siguiente ejercicio y no sé cómo hacerlo.

Dada la matriz [texx]A = \begin{bmatrix}{-1}&{4}&{0}&{0}&{0}\\{-1}&{3}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{2}&{0}&{-1}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}&{0}&{2}\end{bmatrix}[/texx], calcula un vector con polinomio mínimo de grado tres, si existe, o indica por qué no puede existir.


Saludos

Para que exista un vector con polinomio mínimo de grado tres tiene que existir una caja de Jordan de tamaño mayor o igual que tres. Con eso y el procedimiento usual de cómputo de cajas de Jordan no deberías de tener problema.
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Saludos.

¡MAL!
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marcosan
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 05:43:45 pm »

Hola,

la matriz de Jordan es, si no me equivoco, [texx]J = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{3}\end{bmatrix}[/texx].

Tengo, supuestamente, la solución y el vector que propone es [texx]e_{1}-e_{3}+e_{5}[/texx], siendo [texx]e_i[/texx] el vector [texx]i[/texx], con [texx]i =1,2,3,4,5[/texx], de la base canónica

Gracias
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« Respuesta #3 : 19/06/2017, 06:28:26 pm »

Hola

la matriz de Jordan es, si no me equivoco, [texx]J = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{3}\end{bmatrix}[/texx].

Si.

Cita
Tengo, supuestamente, la solución y el vector que propone es [texx]e_{1}-e_{3}+e_{5}[/texx], siendo [texx]e_i[/texx] el vector [texx]i[/texx], con [texx]i =1,2,3,4,5[/texx], de la base canónica

Tengo algo de prisa pero si no me equivoco el polinomio mínimo de ese vector es [texx](x-1)^2[/texx].

De todas formas cometí un error; el polinomio mínimo de la matriz es (dada su forma de Jordan).

[texx](x-1)^2(x-3)[/texx]

Luego obviamente si puedes conseguir un vector cuyo polinomio mínimo sea ese. Ahora tengo que irme.

Saludos.
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marcosan
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« Respuesta #4 : 20/06/2017, 06:23:36 pm »

El polinomio mínimo de un endomorfismo es un polinomio mónico que anula todo vector del espacio vectorial y es el de menor grado posible (en el caso de haber más), ¿cierto?
¿No puede suceder que un vector tenga por polinomio mínimo un polinomio de grado inferior al polinomio mínimo del endomorfismo? Es decir, ¿que el polinomio mínimo de la matriz tenga grado tres garantiza que existe un vector con polinomio mínimo de ese grado?

Gracias
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« Respuesta #5 : 21/06/2017, 04:52:34 am »

Hola

El polinomio mínimo de un endomorfismo es un polinomio mónico que anula todo vector del espacio vectorial y es el de menor grado posible (en el caso de haber más), ¿cierto?

Cierto.

Cita
¿No puede suceder que un vector tenga por polinomio mínimo un polinomio de grado inferior al polinomio mínimo del endomorfismo?


Si, puede ocurrir. Lo que sabemos es que el polinomio mínimo del vector divide al polinomio mínimo del endomorfismo.

Cita
Es decir, ¿que el polinomio mínimo de la matriz tenga grado tres garantiza que existe un vector con polinomio mínimo de ese grado?

Si, lo garantiza. Si todos los vectores tuviesen un polinomio mínimo de grado menor que tres, entonces el polinomio mínimo del endomorfismo también tendría grado tres. Esto no es evidente pero puede probarse. La idea de la prueba es la misma que la del ejemplo concreto que pongo a continuación y que se aplica a tu ejercicio:

En tu caso si el polinomio mínimo del endomorfismo es [texx](x-1)^2(x-3)[/texx], entonces existe un vector [texx]v_1\in ker(A-Id)^2-ker(A-Id)[/texx] con polinomio mínimo [texx](x-1)^2[/texx] y un vector [texx]v_2\in ker(A-3Id) [/texx] con polinomio mínimo [texx](x-3)[/texx].

Comprueba que el polinomio mínimo de [texx]v_1+v_2[/texx] es [texx](x-1)^2(x-3)[/texx].

Saludos.
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