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Autor Tema: Demostrar que una función continua es 0.  (Leído 151 veces)
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« : 19/06/2017, 02:01:40 pm »

Sea [texx]f:[a,b]\longrightarrow{R}[/texx] continua, se sabe que [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f^4(x)dx=0[/texx]. Se puede decir que [texx]f=0[/texx]?

Intuyo que, por el hecho de ser continua, es cierto que [texx]f=0[/texx]. Si no lo fuera, [texx]f[/texx] no tendría por que ser [texx]0[/texx], ya que si [texx]g[/texx] es una función con un conjunto de puntos finitos en un intervalo con un valor [texx]k[/texx], y en todo el intervalo restante la función vale [texx]0[/texx], entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx=0[/texx].

En todo caso, aunque intuya que es cierto, necesito demostrarlo. He intentado usar la definición de una función continua, pero sin éxito.

Saludos y gracias.
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 03:17:02 pm »

Si [texx]f(c) \neq{}0\textrm{ y }f(x)[/texx] es continua, existe un entorno abierto de [texx]c[/texx] en el que la función no es cero. Como [texx](f(x))^4 > 0[/texx], la integral sería entonces mayor que cero. Es importante que [texx]f(x)[/texx] esté elevado a una potencia par, pues si fuese solo [texx]f(x)[/texx] y tomase valores positivos y negativos, la integral de [texx]f(x)[/texx] podría ser nula de todas formas.

Saludos,
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 06:05:55 pm »

Entonces, cualquier función elevada a un numero par es positiva? como si fuera un numero real?

Gracias por tu respuesta.
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« Respuesta #3 : 19/06/2017, 06:58:17 pm »

Entonces, cualquier función elevada a un numero par es positiva? como si fuera un numero real?

Gracias por tu respuesta.

Claro, [texx]f:[a,b]\longrightarrow{R}[/texx], por lo que toma valores reales; elevados a una potencia par serán siempre mayores o iguales que cero. La integral entonces está claro que es mayor o igual que cero. pero si la función es continua y en algún punto es diferente de cero, lo será en todo un entorno de ese punto, y por lo dicho, positiva. Por tanto, la integral debe ser mayor que cero.

Saludos,
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