Hola
Llevo un tiempo intentando demostrar que el conjunto [texx]\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y\geq \displaystyle\frac{1}{x} \wedge x>0\}[/texx] es cerrado en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con la topología usual, pero no consigo demostrarlo ni a través de sucesiones convergentes en el conjunto, ni a través de bolas abiertas en el complementario, pues no se como definir el radio para que dichas bolas no estén contenidas en mi conjunto.
Espero alguno pueda resolver la duda.
Un saludo y muchas gracias.
Una forma rápida de verlo es tener en cuenta que el conjunto puede describirse así:
[texx]A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|xy\geq 1,\, x\geq 0\}[/texx]
Entonces si se considera la aplicación continua [texx]f(x,y)=(xy-1,x)[/texx] se tiene que [texx]A=f^{-1}([0,+\infty)\times [0,+\infty))[/texx] que es cerrado por ser la imagen recíproca de un cerrado por una continua.
Saludos.