Demostración conunto cerrado en R^2 (con la topología usual)

[Eparoh]

Llevo un tiempo intentando demostrar que el conjunto [texx]\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y\geq \displaystyle\frac{1}{x} \wedge x>0\}[/texx] es cerrado en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con la topología usual, pero no consigo demostrarlo ni a través de sucesiones convergentes en el conjunto, ni a través de bolas abiertas en el complementario, pues no se como definir el radio para que dichas bolas no estén contenidas en mi conjunto.
Espero alguno pueda resolver la duda.
Un saludo y muchas gracias.

[Ignacio Larrosa]

Llevo un tiempo intentando demostrar que el conjunto [texx]\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y\geq \displaystyle\frac{1}{x} \wedge x>0\}[/texx] es cerrado en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con la topología usual, pero no consigo demostrarlo ni a través de sucesiones convergentes en el conjunto, ni a través de bolas abiertas en el complementario, pues no se como definir el radio para que dichas bolas no estén contenidas en mi conjunto.
Espero alguno pueda resolver la duda.
Un saludo y muchas gracias.

Intenta demostrar que el complementario es abierto, viendo que para cualquier punto [texx]P[/texx] de él hay una bola abierta totalmente contenida en el conjunto. Aprovecha para ello la ecuación de la frontera de tu conjunto, [texx]y = \dfrac{1}{x}[/texx]. Una forma de hacerlo puede ser la que dejo esbozada trás el Spoiler.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Sea el punto [texx]P = (x_0, y_0)[/texx]. Si [texx]x_0\textrm{ o }y_0 < 0[/texx], basta con tomar como radio de la bola [texx]\min(\left |{x_0}\right |,\left |{y_0}\right |)[/texx].

En el caso de que[texx]x_0, y_0 > 0[/texx], consideremos el punto [texx]Q = (x_1, y_1)[/texx] más próximo de la hipérbola a [texx]P[/texx]. La recta [texx]PQ[/texx] debe ser normal a la hipérbola en [texx]Q[/texx], de lo contrario la distancia no sería mínima. Como la pendiente de la hipérbola en [texx]Q\textrm{ es }\dfrac{-1}{x_1^2}[/texx], la pendiente de la recta normal sera [texx]m = x_1^2[/texx].

Esta pendiente por otra parte será:

[texx]m =\displaystyle\frac{y_1 - y_0}{x_1-x_0}[/texx]

Por tanto,

[texx]d(P, Q) = \sqrt[ ]{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}=\sqrt[ ]{(x_1-x_0)^2 + m^2(x_1-x_0)^2} = (x_1 - x_0)\sqrt[ ]{1 + m^2} = (x_1 - x_0)\sqrt[ ]{1 + x_1^4} [/texx]

Pero [texx]x_0 < x_1 < \dfrac{1}{y_0}[/texx]. Por tanto,

[texx]d(P, Q) < (\dfrac{1}{y_0} - x_0)\sqrt[ ]{1 + \dfrac{1}{y_0^4}} [/texx]

Saludos,

[Ignacio Larrosa]

Llevo un tiempo intentando demostrar que el conjunto [texx]\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y\geq \displaystyle\frac{1}{x} \wedge x>0\}[/texx] es cerrado en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con la topología usual, pero no consigo demostrarlo ni a través de sucesiones convergentes en el conjunto, ni a través de bolas abiertas en el complementario, pues no se como definir el radio para que dichas bolas no estén contenidas en mi conjunto.
Espero alguno pueda resolver la duda.
Un saludo y muchas gracias.

Intenta demostrar que el complementario es abierto, viendo que para cualquier punto [texx]P[/texx] de él hay una bola abierta totalmente contenida en el conjunto. Aprovecha para ello la ecuación de la frontera de tu conjunto, [texx]y = \dfrac{1}{x}[/texx]. Una forma de hacerlo puede ser la que dejo esbozada trás el Spoiler.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Sea el punto [texx]P = (x_0, y_0)[/texx]. Si [texx]x_0\textrm{ o }y_0 < 0[/texx], basta con tomar como radio de la bola [texx]\min(\left |{x_0}\right |,\left |{y_0}\right |)[/texx].

En el caso de que[texx]x_0, y_0 > 0[/texx], consideremos el punto [texx]Q = (x_1, y_1)[/texx] más próximo de la hipérbola a [texx]P[/texx]. La recta [texx]PQ[/texx] debe ser normal a la hipérbola en [texx]Q[/texx], de lo contrario la distancia no sería mínima. Como la pendiente de la hipérbola en [texx]Q\textrm{ es }\dfrac{-1}{x_1^2}[/texx], la pendiente de la recta normal sera [texx]m = x_1^2[/texx].

Esta pendiente por otra parte será:

[texx]m =\displaystyle\frac{y_1 - y_0}{x_1-x_0}[/texx]

Por tanto,

[texx]d(P, Q) = \sqrt[ ]{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}=\sqrt[ ]{(x_1-x_0)^2 + m^2(x_1-x_0)^2} = (x_1 - x_0)\sqrt[ ]{1 + m^2} = (x_1 - x_0)\sqrt[ ]{1 + x_1^4} [/texx]

Pero [texx]x_0 < x_1 < \dfrac{1}{y_0}[/texx]. Por tanto,

[texx]d(P, Q) < (\dfrac{1}{y_0} - x_0)\sqrt[ ]{1 + \dfrac{1}{y_0^4}} [/texx]

Saludos,

La acotación del Spoiler está mal hecha. En su lugar se puede tomar la distancia de P a la tangente de la hipérbola en el punto que tiene la misma ordenada que P. Ahora no puedo detallarlo más, que me tengo que ir.

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Llevo un tiempo intentando demostrar que el conjunto [texx]\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y\geq \displaystyle\frac{1}{x} \wedge x>0\}[/texx] es cerrado en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con la topología usual, pero no consigo demostrarlo ni a través de sucesiones convergentes en el conjunto, ni a través de bolas abiertas en el complementario, pues no se como definir el radio para que dichas bolas no estén contenidas en mi conjunto.
Espero alguno pueda resolver la duda.
Un saludo y muchas gracias.

Una forma rápida de verlo es tener en cuenta que el conjunto puede describirse así:

[texx]A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|xy\geq 1,\, x\geq 0\}[/texx]

Entonces si se considera la aplicación continua [texx]f(x,y)=(xy-1,x)[/texx] se tiene que [texx]A=f^{-1}([0,+\infty)\times [0,+\infty))[/texx] que es cerrado por ser la imagen recíproca de un cerrado por una continua.

Saludos.

[Eparoh]

Muchas gracias a ambos por las respuestas.
Intentaré desarrollar lo que has propuesto ilarrosa.
Un saludo 

[Ignacio Larrosa]

Muchas gracias a ambos por las respuestas.
Intentaré desarrollar lo que has propuesto ilarrosa.
Un saludo 

Por ese camino sale sin demasiadas dificultades. Si tienes problemas, pregunta de nuevo, que creo que lo tengo arreglado. Pero indudablemente el propuesto por el_manco es más directo.

Saludos,