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Autor Tema: Convergencia de esperanzas  (Leído 129 veces)
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sanmath
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« : 19/06/2017, 01:06:58 pm »

hola necesito ayuda con este teorema, no logro entender la demostración

[texx]\xi_n[/texx] y [texx]\xi[/texx] variables aleatorias y [texx]\xi_n\xrightarrow{w}\xi[/texx] entonces [texx]E|\xi|\leq \liminf_{n\rightarrow\infty}E|\xi_n|[/texx]

En la demostración que tengo en mis notas de clase, tengo lo siguiente:
Se define una función continua accotada:[texx]
h_a(x)=\begin{cases} |x| & \text{si}& |x|\geq a\\a & \text{si}& |x|>a\end{cases}[/texx]

ahora entiendo que esta función es continua y acotada, entonces por definición de convergencia débil se tiene que
[texx]Eh_a(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}Eh_a(\xi_n) [/texx][texx]\leq \liminf_{n\rightarrow\infty}E|\xi_n|[/texx]
En lo anterior no entiendo la parte en rojo por que se tiene tal desigualdad?

Luego se dice que por el teorema de convergencia monótona [texx]E|\xi|=Elim_{a\rightarrow\infty}h_a(\xi)=lim E_{a\rightarrow\infty}h_a(\xi)[/texx][texx]\leq liminf_{n\rightarrow\infty}E|\xi_n|[/texx]
 de aqui la parte azul es por lo hallado anteriormente, pero no tengo claro por que [texx]a\rightarrow \infty[/texx]

Saludos

Adjunto mis notas de clase con este teorema.

* 3.17thm.jpg (33.76 KB - descargado 12 veces.)
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« Respuesta #1 : 20/06/2017, 07:05:18 pm »

Hola sanmath.

 Sobre tu primera duda. Lo que ocurre es que para todo [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] se tiene que [texx]h_{a}(\xi_{n})\leq|\xi_{n}|.[/texx] Luego [texx]\mathbb{E}[h_{a}(\xi_{n})]\leq\mathbb{E}[|\xi_{n}|][/texx] para todo [texx]n\in\mathbb{N}.[/texx] Finalmente, tomando límite inferior en ambos lados de esta desigualdad obtenemos que [texx]\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[h_{a}(\xi_{n})]\leq\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[|\xi_{n}|].[/texx] Nota que el límite inferior de la izquierda es un límite (a secas) porque sabemos que la sucesión [texx](\mathbb{E}[h_{a}(\xi_{n})])_{n\in\mathbb{{N}}}[/texx] converge.

 Respecto a tu última duda. Por la construcción de [texx]h_{a}[/texx] se tiene que [texx]\lim_{a\to\infty}h_{a}(x)=|x|[/texx] para todo [texx]x\in\mathbb{R}.[/texx] Esto implica que [texx]\lim_{a\to\infty}h_{a}(\xi)=|\xi|.[/texx] El límite cuando [texx]a\to\infty[/texx] se usa para poder relacionar [texx]\xi[/texx] con [texx]h_{a}(\xi),[/texx] ya que en la anterior desigualdad hemos relacionado [texx]\mathbb{E}[h_{a}(\xi)][/texx] con [texx]\liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[|\xi_{n}|][/texx] (que no depende de [texx]a[/texx]).

 Si te quedan dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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