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Autor Tema: Rombo y densidad  (Leído 222 veces)
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guillem_dlc
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« : 19/06/2017, 09:28:58 am »

Hola,

Me pueden ayudar con este ejercicio:

a) Calcular la masa de un rombo de vértices [texx](0,0),(1,0),(1,1)[/texx] y [texx](2,1)[/texx] sabiendo que su densidad en cada punto [texx](x,y)[/texx] viene dada por la función [texx]d(x,y)=x^2+y+1[/texx]

b) Calcular el centro geométrico del rombo.

Gracias

Saludos
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delmar
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 01:39:36 pm »

Hola

a) Adjunto un esquema

Por definición la masa de un elemento infinitesimal del rombo : [texx]dm=d \ dx \ dy[/texx]

La masa del rombo será :

[texx]m=\displaystyle\int_{rombo}^{}\displaystyle\int_{}^{}d \ dx \ dy[/texx]

Integrando primero respecto a x y luego respecto a y se tiene :

[texx]m=\displaystyle\int_{0}^{1} \ dy\displaystyle\int_{y}^{y+1}(x^2+y+1) \ dx[/texx]

Detallando :

Al integrar respecto a x, y se mantiene constante; mientras que  x va desde el punto A de la recta [texx]y=x[/texx] hasta el punto B de la recta [texx]y+1=x[/texx]

b) Hay que precisar si se desea conocer el centro de masa o el centro geométrico, son puntos diferentes por lo general y únicamente coinciden cuando la densidad es uniforme.

Para el centro de masa [texx](x_c,y_c)[/texx] se tendrá :

Momento estático respecto al eje y= [texx]m \ \ y_c[/texx]

Momento estático respecto al eje x= [texx]m \ \ x_c[/texx]

Entonces por definición de momento estático se tiene :

[texx]\displaystyle\int_{rombo}^{}\displaystyle\int_{}^{}y \ d \ dx \ dy=m \ y_c[/texx]

[texx]\displaystyle\int_{rombo}^{}\displaystyle\int_{}^{}x \ d \ dx \ dy=m \ x_c[/texx]

Ambos integrales se pueden calcular de forma semejante a como se obtuvo la masa, es decir con los mismos límites de integración. Luego despejas [texx]y_c, x_c[/texx].

Para el caso del centro geométrico lo mejor es tomar [texx]d(x,y)=1[/texx], en lugar de m tendrás el área



Saludos

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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 03:07:18 pm »

Solo dos detalles:

Hola

a) Adjunto un esquema


El punto [texx](1, 0)[/texx] lo rotulaste en el esquema como [texx](0, 1)[/texx], aunque está bien situado.

b) Hay que precisar si se desea conocer el centro de masa o el centro geométrico,

Supongo que debe ser el centro de masas, porque para el centro geométrico, no olvidemos del todo la geometría elemental, basta hallar el punto medio de dos vértices opuestos, sumando sus coordenadas y dividiendo por dos.

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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