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Autor Tema: Demostración Teorema Mapping  (Leído 78 veces)
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sanmath
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« : 19/06/2017, 09:03:55 am »

Hola, tengo problemas en entender la demostración del siguiente teorema.

Sean [texx]X[/texx] y [texx]Y[/texx] espacios métricos, sea [texx]h:x\rightarrow Y[/texx] una función Borel, sea [texx]\triangle_h[/texx] el conjunto de puntos de discontinuidad de [texx]h[/texx] y sean [texx]\xi_n,\xi[/texx] elementos aleatorios en [texx]X[/texx].
Si [texx]\xi_n\xrightarrow{w}\xi[/texx]  y [texx]P\{\xi\in\triangle_h\}=0[/texx] entonces [texx]h(\xi_n)\xrightarrow{w}h(\xi)[/texx]

Adjunto la demostración que tengo en mis notas de clase, y a continuación explico las partes que no las tengo muy claras:

Primero, no entiendo por que se concluye que el conjunto [texx]\triangle_h^c[/texx] tiene la forma que se menciona, y no entiendo para que sirve esa parte, después no logro entender como se concluye que
[texx]\bar{h^{-1}(F)}\subset h^{-1}(F\cup\triangle_h)[/texx]

posteriormente no tengo claro por qué se concluye que
[texx]\mu\bar{(h^{-1}(F))}\leq\mu(h^{-1}(F))+\mu(\triangle_h)=\mu(h^{-1}(F)[/texx]Aqui entiendo que utiliza una propiedad de la medida y con la parte anterior puede obtener la desigualdad, pero no entiendo por que lo del medio es igual a [texx]\mu(h^{-1}(F))[/texx], tampoco tengo claro por que dice que por lo tanto la distribución [texx]\mu[/texx] de [texx]\xi[/texx] satisface.....

Al final entiendo que con la desiguladad anterior utiliza el teorema de Portmanteau, pero no veo en que momento se concluye que [texx]h(\xi_n)\xrightarrow{w}h(\xi)[/texx]

Saludos.

* thm3.09.jpg (71.38 KB - descargado 4 veces.)
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« Respuesta #1 : 21/06/2017, 07:24:12 pm »

Hola sanmath.

Primero, no entiendo por que se concluye que el conjunto [texx]\triangle_h^c[/texx] tiene la forma que se menciona, y no entiendo para que sirve esa parte, [...]

 El conjunto [texx]\Delta_{h}^{c}[/texx] es el conjunto de puntos donde [texx]h[/texx] es continua. Esto quiere decir que [texx]x_{0}\in \Delta_{h}^{c}[/texx] si y sólo si para todo [texx]\varepsilon>0[/texx] existe un abierto [texx]U[/texx] conteniendo a [texx]x_{0}[/texx] tal que [texx]\rho\big(h(x),h(y)\big)<\varepsilon[/texx] para todo [texx]x,y\in U.[/texx] Esto es equivalente a que para todo [texx]n\in\mathbb{N}[/texx] exista un abierto [texx]U[/texx] conteniendo a [texx]x_{0}[/texx] tal que [texx]\rho\big(h(x),h(y)\big)<1/n[/texx] para todo [texx]x,y\in U.[/texx] Con esto trata de convencerte de la igualdad que se escribe en tus notas de clase. Esta igualdad se usa ara probar que [texx]\Delta_{h}^{c}[/texx] (y por tanto también [texx]\Delta_{h}[/texx]) es Borel; esto hace que tenga sentido escribir [texx]{\bf P}[\xi\in\Delta_{h}][/texx] en el enunciado del teorema, pues de otra forma no sabríamos si el conjunto [texx]\{\xi\in\Delta_{h}\}[/texx] es un evento, es decir, si es medible.

Cita
[...] después no logro entender como se concluye que
[texx]{\color{red}\overline{h^{-1}(F)}}\subset h^{-1}{\color{red}(}F{\color{red})}\cup\triangle_h[/texx]

 Al iniciar el argumento que corresponde a esta parte se prueba que si [texx]x\in\overline{h^{-1}(F)}\cap\Delta_{h}^{c},[/texx] entonces [texx]h(x)\in F.[/texx] Esto es equivalente a decir que [texx]\overline{h^{-1}(F)}\cap\Delta_{h}^{c}\subset h^{-1}(F).[/texx] Luego [texx][\overline{h^{-1}(F)}\cap\Delta_{h}^{c}]\cup\Delta_{h}\subset h^{-1}(F)\cup\Delta_{h}[/texx] y para concluir nota que [texx]\overline{h^{-1}(F)}\subset[\overline{h^{-1}(F)}\cap\Delta_{h}^{c}]\cup\Delta_{h}.[/texx]

Cita
posteriormente no tengo claro por qué se concluye que
[texx]\mu{\color{red}(\overline{h^{-1}(F)})}\leq\mu(h^{-1}(F))+\mu(\triangle_h)=\mu(h^{-1}(F)[/texx]Aqui entiendo que utiliza una propiedad de la medida y con la parte anterior puede obtener la desigualdad, pero no entiendo por que lo del medio es igual a [texx]\mu(h^{-1}(F))[/texx], [...]

 Ahí se está usando que la medida [texx]\mu[/texx] es subaditiva, es decir [texx]\mu(A\cup B)\leq\mu(A)+\mu(B)[/texx] para cualquier par conjuntos [texx]A,\,B[/texx] medibles. Además se usa que [texx]\mu(\Delta_{h})={\bf P}[\xi\in\Delta_{h}]=0[/texx] (la última igualdad es hipótesis del teorema). En esta otra parte:

Cita
[...] tampoco tengo claro por que dice que por lo tanto la distribución [texx]\mu[/texx] de [texx]\xi[/texx] satisface.....

Se está usando que por definición la distribución [texx]\mu[/texx] de [texx]\xi[/texx] cumple que [texx]\mu(A)={\bf P}[\xi\in A][/texx] para cualquier conjunto medible [texx]A.[/texx]

 Finalmente, sobre esto

Cita
Al final entiendo que con la desiguladad anterior utiliza el teorema de Portmanteau, pero no veo en que momento se concluye que [texx]h(\xi_n)\xrightarrow{w}h(\xi)[/texx]

 La desigualdad que se muestra es [texx]\nu(F)\geq\limsup_{n\to\infty}\nu_{n}(F),[/texx] donde [texx]F[/texx] es un conjunto cerrado arbitrario. Esta es exactamente una de las equivalencias del teorema de Portmanteau que prueba que [texx]h(\xi_{n})\xrightarrow[]{\text{w}}h(\xi).[/texx]

 Si te quedan dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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