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Autor Tema: Determinar "a" a partir de la diferencia del máximo y mínimo de una función  (Leído 470 veces)
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NatsuFT
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« : 19/06/2017, 05:02:03 am »

Hola,

Alguien podria ayudarme a aclarar algunas dudas con ente problema. Dice asi:

Para [texx]a<2[/texx], considera la función [texx]f(x)=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}(a+2)x^2+6ax[/texx]. Determine [texx]a[/texx] sabiendo que la diferencia entre su máximo y mínimo relativos es de [texx]4[/texx]

Lo que yo hice fue derivar [texx]f(x)[/texx] y luego igualar a cero, dándome así los puntos [texx]x=2; x=a[/texx]

Luego remplace estos valores en la funcion original resultando que [texx]f(2)= 6a-4[/texx] y que [texx]f(a)=-\displaystyle\frac{a^3}{2}+3a^2[/texx]

Ahora acá es donde me empiezo a liar.

Si la diferencia entre el máximo y el mínimo relativo es de 4, entonces [texx]\left |{f(2)-f(a)}\right |=4[/texx] (aqui ya me entran dudas. ¿Supongo que es indiferente que haga [texx]\left |{f(2)-f(a)}\right |=4[/texx]  o [texx]\left |{f(a)-f(2)}\right |=4[/texx] pero luego de una forma el modulo abre distinto a la otra, o estoy equivocado? )

Por lo tanto,
[texx]\left |{6a-4+\displaystyle\frac{a^3}{2}-3a^2}\right |=4[/texx]

Ahora lo que no se es como abrir el módulo. Probe de ambas formas para que de una me de un valor de
[texx]a=4[/texx] el cual descarte por que no cumplia que [texx]a<2[/texx] y luego abriendolo cambiando el signo de todo lo de adentro me quedo que [texx]a=0[/texx] que si cumple [texx]a<2[/texx].

Luego confirme si la diferencia entre el máximo y el mínimo relativo de [texx]f(x)[/texx] era efectivamente de 4 cuando [texx]a=0[/texx], siendo esto verdadero ya que su máximo relativo me dio en [texx](0,0)[/texx] y su mínimo relativo en [texx](2,-4)[/texx]

A mi parecer llegue al resultado correcto pero no logro entender la lógica de porque debía abrir el modulo de manera negativa cambiándome los signos del mismo, ademas si hubiese elegido hacer [texx]\left |{f(a)-f(2)}\right |=4[/texx] no hubiese tenido que cambiar el signo de lo que hay dentro del modulo.

Si alguien me pudiera orientar un poco le agradecería mucho.

Saludos!
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 05:13:25 am »

Hola:
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la función que te dan es continua para todo real, por ser polinómica, al tener solo 2 dos extremos relativos y ser continua el valor del máximo relativo siempre es mayor que el del mínimo relativo.

Basta que veas el signo de [texx] f''(2)[/texx], para saber si es máximo o mínimo y así sabrás el orden de la resta y evitas el valor absoluto.
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Saludos.
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NatsuFT
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 05:57:30 am »

Hola:
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la función que te dan es continua para todo real, por ser polinómica, al tener solo 2 dos extremos relativos y ser continua el valor del máximo relativo siempre es mayor que el del mínimo relativo.

Basta que veas el signo de [texx] f''(2)[/texx], para saber si es máximo o mínimo y así sabrás el orden de la resta y evitas el valor absoluto.
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Saludos.

Ahh ya entiendo, no había pensado en usar una segunda derivada. A tenerlo en cuenta de ahora en adelante :cara_de_queso:

Muchísimas gracias por la ayuda.

Saludos!
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« Respuesta #3 : 19/06/2017, 06:23:42 am »


Ahh ya entiendo, no había pensado en usar una segunda derivada. A tenerlo en cuenta de ahora en adelante :cara_de_queso:

Muchísimas gracias por la ayuda.

Saludos!

De todas formas, una precisión sobre el valor absoluto:

[texx]\left |{a-b}\right |\equiv{}\left |{b-a}\right |[/texx]

Son exactamente iguales para cualquier [texx]a\textrm{ y }b[/texx].

De manera que [texx]\left |{a-b}\right |= k\textrm{ y }\left |{b-a}\right |= k[/texx] significa exactamente lo mismo.

Y la forma correcta de eliminar el valor absulto es [texx]\left |{a-b}\right |=k\;\Longleftrightarrow{}\;a - b = \pm{}k[/texx]

Y tienes que considerar las dos posibilidades que da el doble signo [texx]\pm{}[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #4 : 19/06/2017, 06:40:05 am »


Ahh ya entiendo, no había pensado en usar una segunda derivada. A tenerlo en cuenta de ahora en adelante :cara_de_queso:

Muchísimas gracias por la ayuda.

Saludos!

De todas formas, una precisión sobre el valor absoluto:

[texx]\left |{a-b}\right |\equiv{}\left |{b-a}\right |[/texx]

Son exactamente iguales para cualquier [texx]a\textrm{ y }b[/texx].

De manera que [texx]\left |{a-b}\right |= k\textrm{ y }\left |{b-a}\right |= k[/texx] significa exactamente lo mismo.

Y la forma correcta de eliminar el valor absulto es [texx]\left |{a-b}\right |=k\;\Longleftrightarrow{}\;a - b = \pm{}k[/texx]

Y tienes que considerar las dos posibilidades que da el doble signo [texx]\pm{}[/texx].

Saludos,

Gracias por la acotación. Es decir que en el caso de no haber tenido el dato de que [texx]a<2[/texx] lo que debía hacer era analizar ambos resultados. Yo a lo que le que acostumbraba a hacer para eliminar valor absoluto es

[texx]\left |{a-b}\right |=k[/texx]
\begin{cases} a-b & \text{=}& k\\-a+b & \text{=}& k\end{cases}

Digamos que [texx]k=0[/texx] funcionaria de todas formas abrir el valor absoluto con [texx]\left |{a-b}\right |={k}\Leftrightarrow{a-b=\pm{k}}[/texx]?

Saludos
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« Respuesta #5 : 19/06/2017, 07:30:28 am »


Gracias por la acotación. Es decir que en el caso de no haber tenido el dato de que [texx]a<2[/texx] lo que debía hacer era analizar ambos resultados.

Correcto


Yo a lo que le que acostumbraba a hacer para eliminar valor absoluto es

[texx]\left |{a-b}\right |=k[/texx]
\begin{cases} a-b & \text{=}& k\\-a+b & \text{=}& k\end{cases}

Digamos que [texx]k=0[/texx] funcionaria de todas formas abrir el valor absoluto con [texx]\left |{a-b}\right |={k}\Leftrightarrow{a-b=\pm{k}}[/texx]?

Esa última línea no la entiendo, pero lo que acostumbras a hacer es totalmente equivalente a lo que yo te sugería.

Saludos,
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« Respuesta #6 : 19/06/2017, 07:35:15 pm »


Esa última línea no la entiendo, pero lo que acostumbras a hacer es totalmente equivalente a lo que yo te sugería.

Saludos,

Gracias por contestar. En la última linea lo que quería decir es que si tengo un modulo igualado a cero significa que puedo abrirlo tal como esta sin diferenciar entre [texx]\pm{k}[/texx] ya que solo obtendría un resultado, estoy en lo correcto?



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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #7 : 19/06/2017, 08:36:22 pm »


Esa última línea no la entiendo, pero lo que acostumbras a hacer es totalmente equivalente a lo que yo te sugería.

Saludos,

Gracias por contestar. En la última linea lo que quería decir es que si tengo un modulo igualado a cero significa que puedo abrirlo tal como esta sin diferenciar entre [texx]\pm{k}[/texx] ya que solo obtendría un resultado, estoy en lo correcto?

Efectivamente, [texx]\left |{A}\right |=0\;\Leftrightarrow{}\;A = 0[/texx], sea lo que sea [texx]A[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #8 : 19/06/2017, 08:49:44 pm »

Efectivamente, [texx]\left |{A}\right |=0\;\Leftrightarrow{}\;A = 0[/texx], sea lo que sea [texx]A[/texx].

Saludos,

Gracias por tomarte el tiempo de responderme!

Saludos.
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