Dos problemas de optimizacion

[GMat]

Hola necesito ayuda con otro problema, aunque una buena parte de mi le gustaría desahogarse y decir el desdén que le tengo a como me estan dando el curso y aun mas como me evalúan solo quiero decir que en teoría (o mas bien en la practica porque teoría nos ha dado un poco) no se casi nada y toda la ayuda que me puedan dar para resolver estos ejercicios (y el que puse en otra tema pero en la misma sección) sera de muchísima ayuda. de la extensa lista de problemas que nos dio el profesor creo que lo mas importantes (Los que siento que mas allá de todo no debería de dejar de saber y en los cuales no me quiero equivocar por inexperiencia) son:

Demuestre que si [texx]x^*[/texx] es un mínimo local del problema de optimización con restricciones Minimizar [texx]f(x)[/texx] Sujeto a [texx]h(x) = 0[/texx] y [texx]g(x)\leq{0}[/texx] y [texx]x^* [/texx] es regular para las restricciones activas de del problema de optimización con restriciones, entonces los multiplicadores de
Lagrange [texx]\lambda[/texx] y [texx]\mu[/texx] provistos por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son únicos

Y el otro que me gustaría que me ayudaran es

Sea [texx]A\in{M(\mathbb{R})}[/texx] Utilice las condiciones necesarias de primer orden para calcular el valor de [texx]max{(x^t)Ax:||x||=1}[/texx]

[Luis Fuentes]

Hola

Sea [texx]A\in{M(\mathbb{R})}[/texx] Utilice las condiciones necesarias de primer orden para calcular el valor de [texx]max{(x^t)Ax:||x||=1}[/texx]

Si consideras:

[texx]F(x,\lambda)=x^tAx-\lambda(x^tx-1)[/texx]

se tiene que (con cierto abuso de notación):

[texx]\dfrac{\partial F}{\partial x}=(A+A^t)x-2 \lambda Id x=2\left(\dfrac{1}{2}(A+A^t)-\lambda Id\right)x[/texx]

Se anula cuando [texx]x [/texx]es autovector [texx] \dfrac{1}{2}(A+A^t)[/texx]

Continúa...

Saludos.

[GMat]

Buenas, gracias por tu respuesta pero de verdad estoy bastante bloqueado con todo este tema, por que cuando derivas te queda[texx] (A+(A^t))[/texx]? La formula que me dieron fue la siguiente [texx] \triangledown f(x) + (\lambda)^t\triangledown h(x) = 0[/texx], si sigo esa formula no me va a quedar el signo menos que te queda a ti cuando realizas las cuentas

Pido por favor la mayor cantidad de detalles posibles, no pido que me resuelvan el ejercicio sino que me den una idea detalla de que es lo que deberia de hacer porque de verdad no veo luz

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas, gracias por tu respuesta pero de verdad estoy bastante bloqueado con todo este tema, por que cuando derivas te queda[texx] (A+(A^t))[/texx]? La formula que me dieron fue la siguiente [texx] \triangledown f(x) + (\lambda)^t\triangledown h(x) = 0[/texx], si sigo esa formula no me va a quedar el signo menos que te queda a ti cuando realizas las cuentas

Tengo poco tiempo ahora: lo del signo da igual. Pon signo más si quieres y la idea sigue funcionando.

Mi consejo es que pruebes con un ejemplo para una matriz [texx]2\times 2[/texx].

Saludos.

[GMat]

Muchas gracias, ya empiezo a entender la idea pero aun tengo la pregunta (quizás tonta) de por que cuando derivas te da [texx]A+A^t[/texx]

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias, ya empiezo a entender la idea pero aun tengo la pregunta (quizás tonta) de por que cuando derivas te da [texx]A+A^t[/texx]

Fíjate que:

[texx]x^tAx=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\sum_{j=1}^n{}a_{ij}x_ix_j[/texx]

Para derivar respecto de [texx]x_k[/texx] nos fijamos sólo en los términos de esa suma donde aparece [texx]x_k[/texx]:

[texx]\displaystyle\sum_{i=1,i\neq k}^n{}a_{ik}x_ix_k+\displaystyle\sum_{j=1,j\neq k}^n{}a_{kj}x_kx_j+a_{kk}x_k^2[/texx]

Su derivada es:

[texx]\displaystyle\sum_{i=1,i\neq k}^n{}a_{ik}x_i+\displaystyle\sum_{j=1,j\neq k}^n{}a_{kj}x_j+2a_{kk}x_k=[/texx][texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{}a_{ik}x_i+\displaystyle\sum_{j=1}^n{}a_{kj}x_j=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}(a_{ik}+a_{ki})x_i[/texx]

Saludos.