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Autor Tema: Maximizar un campo escalar  (Leído 134 veces)
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GMat
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« : 18/06/2017, 10:57:08 pm »

Hola necesito ayuda con el siguiente problema de optimizacion con restricciones de Igualdad

Maximizar el campo escalar [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)(y_i)}[/texx] sujero a [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2}=1[/texx] y [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}[/texx]

Luego de eso se me pide que use el resultado para obtener la formula de Cauchy-Schwarz en [texx]R^n[/texx]

Gracias de antemano
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el_manco
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 06:39:14 am »

Hola

Hola necesito ayuda con el siguiente problema de optimizacion con restricciones de Igualdad

Maximizar el campo escalar [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)(y_i)}[/texx] sujero a [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2}=1[/texx] y [texx]\color{red}\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}\color{black}[/texx]

Supongo que quisiste poner:

 [texx]\color{red}\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}=1\color{black}[/texx]

¿Qué has intentado?.

Plantea la función de Lagrange:

[texx]F(\vec x,\vec y,\lambda,\mu)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)(y_i)}+\lambda(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2}-1)+\mu(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}-1)[/texx]

Iguala las parciales a cero y deduce que los únicos puntos críticos aparecen cuando:

[texx]\vec x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}(1,1,\ldots,1)[/texx]
[texx]\vec y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}(1,1,\ldots,1)[/texx]

Luego termina...

Cita
Luego de eso se me pide que use el resultado para obtener la formula de Cauchy-Schwarz en [texx]R^n[/texx]

De lo anterior habrás deducido que:

[texx]<\vec x,\vec y>\leq 1[/texx] para vectores unitarios

Pero en general ten en cuenta que si los vectores son no nulos:

[texx]<\vec x,\vec y>=\|x\|\|y\|\left<\dfrac{\vec x}{\|\vec x\|},\dfrac{\vec y}{\|\vec y\|}\right>[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 05:14:59 pm »

Si tienes razon era [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}=1[/texx], a mi se me da la siguiente formula para encontrar los puntos criticos [texx]\triangledown f(x) + (lambda)^t \triangledown (h_1)(x) + (\mu)^t\triangledown (h_2)(x) = 0 [/texx] lo primero que me confunde es que en los problemas que veo es que si yo calculo el gradiente respecto a cada vector [texx]x, y[/texx] de n componentes me va a resultar que [texx]\triangledown f(x)[/texx] va ser un vector de [texx]2n[/texx] componentes (ya que derivaria conb respecto a cada [texx]x_i[/texx] y cada [texx]y_i[/texx]) pero el gradiente de las restricciones son vectores de n componentes cada uno, aplicando esa formula y derivando de esa manera no me queda algo que pueda manejar, estoy bastante bloqueado en este tema asi que lo mas probable es que este derivando mal o usando mal la formula

Pido por favor la mayor cantidad de detalles posibles, no pido el ejercicio resuelto pero si que la idea que podría usar tenga bastantes detalles para no perderme
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« Respuesta #3 : 19/06/2017, 05:35:19 pm »

Hola

Si tienes razon era [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}=1[/texx], a mi se me da la siguiente formula para encontrar los puntos criticos [texx]\triangledown f(x) + (lambda)^t \triangledown (h_1)(x) + (\mu)^t\triangledown (h_2)(x) = 0 [/texx] lo primero que me confunde es que en los problemas que veo es que si yo calculo el gradiente respecto a cada vector [texx]x, y[/texx] de n componentes me va a resultar que [texx]\triangledown f(x)[/texx] va ser un vector de [texx]2n[/texx] componentes (ya que derivaria conb respecto a cada [texx]x_i[/texx] y cada [texx]y_i[/texx]) pero el gradiente de las restricciones son vectores de n componentes cada uno, aplicando esa formula y derivando de esa manera no me queda algo que pueda manejar, estoy bastante bloqueado en este tema asi que lo mas probable es que este derivando mal o usando mal la formula

Las restricciones también tienen [texx]2n[/texx] componentes (aunque algunas no se "usen" son):

[texx]h_1(\vec x,\vec y)=0[/texx] con [texx]h_1(\vec x,\vec y)=\|\vec x\|^2-1[/texx]
[texx]h_2(\vec x,\vec y)=0[/texx] con [texx]h_2(\vec x,\vec y)=\|\vec y\|^2-1[/texx]

Entonces si como te digo tomas:

[texx]F(\vec x,\vec y,\lambda,\mu)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)(y_i)}+\lambda(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2}-1)+\mu(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}-1)[/texx]

Tienes que hallar e igualar a cero su gradiente, es decir, las diferentes parciales respecto a [texx]x_i,y_i[/texx], [texx]\lambda[/texx] y [texx]\mu[/texx].

(1) Las parciales respecto a [texx]x_i[/texx] son: [texx]y_i-2\lambda x_i=0[/texx]
(2) Las parciales respecto a [texx]y_i[/texx] son: [texx]x_i-2\mu y_i=0[/texx]
(3) Las restantes parciales:  [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2}-1=0[/texx]
(4) Las restantes parciales:  [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i)^2}-1=0[/texx]

De (3) y (4) se deduce que algún [texx]x_i[/texx] y algún [texx]y_j[/texx] son no nulos. Por tanto de (1) y (2) que [texx]\lambda[/texx] y [texx]\mu[/texx] son no nulos y que los vectores [texx]\vec x[/texx] y [texx]\vec y[/texx] son proporcionales.

Me había equivocado en lo que escribí en mi anterior mensaje:

Cita
Iguala las parciales a cero y deduce que los únicos puntos críticos aparecen cuando:

[texx]\vec x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}(1,1,\ldots,1)[/texx]
[texx]\vec y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{n}}(1,1,\ldots,1)[/texx]

En realidad cualquier par de vectores propocionales de norma uno son puntos críticos; comprueba que o bien dan el máximo [texx]1[/texx] o el mínimo [texx]-1[/texx], al evaluar [texx]<\vec x,\vec y>[/texx]

Saludos.
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