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Autor Tema: Propiedad de Cardinalidad  (Leído 29 veces)
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alejandra
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« : 18/06/2017, 05:41:30 pm »

Hola, en la demostración del siguiente teorema:
     "Dos bases ortonormales cualesquiera de un espacio de Hilbert no trivial tienen el mismo cardinal"
Aparece una propiedad de cardinalidad que no sé cómo justificarla, la misma es:
    "[texx]B=\displaystyle\bigcup_{a\in{A}}B_a[/texx] es unión infinita de conjutos numerables entonces el cardinal de B es menor o igual a infinito por el cardinal de los naturales"
Podrían justificarme esa desigualdad? Gracias
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el_manco
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 04:55:58 am »

Hola

Hola, en la demostración del siguiente teorema:
     "Dos bases ortonormales cualesquiera de un espacio de Hilbert no trivial tienen el mismo cardinal"
Aparece una propiedad de cardinalidad que no sé cómo justificarla, la misma es:
    "[texx]B=\displaystyle\bigcup_{a\in{A}}B_a[/texx] es unión infinita de conjutos numerables entonces el cardinal de B es menor o igual a infinito por el cardinal de los naturales"
Podrían justificarme esa desigualdad? Gracias


Para ver que [texx]card(A)\cdot card(\mathbb N)\geq card(B)[/texx], considera la aplicación sobreyectiva:

[texx]\phi:A\times \mathbb{N}\longrightarrow{}B,\qquad  \phi(a,n)=f_a(n)[/texx]

donde [texx]f_a[/texx] es la biyección [texx]f_a:\mathbb{N}\longrightarrow{}B_a[/texx] que existe por ser los [texx]B_a[/texx] numerables.

Saludos.
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