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Autor Tema: Demostración de derivadas.  (Leído 176 veces)
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« : 18/06/2017, 05:41:04 pm »

Sea [texx]f:[0,+\infty)\rightarrow{R}[/texx] contínua y derivable en [texx](0,+\infty)[/texx]. Suponemos que [texx]f(0)=0[/texx] y que [texx]f'[/texx] es escrictamente creciente. Demuestra que la función [texx]\displaystyle\frac{f(x)}{x}[/texx] es estrictamente creciente.

No veo como demostrar esto, aunque creo que entiendo geométricamente el problma.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 04:51:25 am »

Hola

Sea [texx]f:[0,+\infty)\rightarrow{R}[/texx] contínua y derivable en [texx](0,+\infty)[/texx]. Suponemos que [texx]f(0)=0[/texx] y que [texx]f'[/texx] es escrictamente creciente. Demuestra que la función [texx]\displaystyle\frac{f(x)}{x}[/texx] es estrictamente creciente.

No veo como demostrar esto, aunque creo que entiendo geométricamente el problma.

Si llamas [texx]g(x)=\dfrac{f(x)}{x}[/texx] basta probar que [texx]g'(x)>0[/texx].

Pero:

[texx]g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}[/texx]   (*)

Y por otra parte por el teorema del valor medio del cálculo diferencial:

[texx]f(x)=f(x)-f(0)=xf'(\alpha)[/texx] con [texx]\alpha\in (0,x)[/texx]

Entonces en (*):

[texx]g'(x)=\dfrac{x(f'(x)-f'(\alpha))}{x^2}[/texx]

Finalmente ten en cuenta que [texx]f'(x)[/texx] es estrictamente creciente.

Saludos.
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