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Autor Tema: Desigualdad media-difícil  (Leído 347 veces)
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alicenujan
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« : 18/06/2017, 05:05:01 pm »

¿Cómo se puede hacer? :triste:
Sean a,b,c tres números reales positivos. Demostrar que
\[ \frac {a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac {a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac {3a+b+c}{2a+3b+3c} \ge \frac {15}{8}\]





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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 19/06/2017, 04:39:32 am »

Hola

¿Cómo se puede hacer? :triste:
Sean a,b,c tres números reales positivos. Demostrar que
\[ \frac {a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac {a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac {3a+b+c}{2a+3b+3c} \ge \frac {15}{8}\]

Un esbozo:

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Saludos.
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alicenujan
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« Respuesta #2 : 19/06/2017, 05:34:15 am »

Gracias por la solucion, pero
porque [texx]a+b+c=1[/texx] y cómo se aplica exactamente Jensen (porque no entendía cómo usarlo ...)?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 19/06/2017, 06:23:59 am »

Hola

Gracias por la solucion, pero
porque [texx]a+b+c=1[/texx]

Si divides numerador y denominador por [texx]a+b+c[/texx] y llamas:

[texx]a'=\dfrac{a}{a+b+c},\quad b'=\dfrac{b}{a+b+c},\quad c'=\dfrac{c}{a+b+c}
[/texx]

la desigualdad a probar te queda:

[texx]
\dfrac {a'+b'+3c'}{3a'+3b'+2c'}+\dfrac {a'+3b'+c'}{3a'+2b'+3c'}+\dfrac {3a'+b'+c'}{2a'+3b'+3c'} \ge \dfrac {15}{8}[/texx]

donde ahora [texx]a'+b'+c'=1[/texx].

En general siempre que uno quiera optimizar una función [texx]f(x,y,z)[/texx] que cumple [texx]f(kx,ky,kz)=f(x,y,z)[/texx] uno puede hacer esta suposición de [texx]x+y+z=1[/texx].

Cita
y cómo se aplica exactamente Jensen (porque no entendía cómo usarlo ...)?

Aplícala para [texx]\lambda_i=1/3[/texx] y [texx](x_1,x_2,x_3)=(a,b,c).[/texx]

Saludos.
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alicenujan
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« Respuesta #4 : 19/06/2017, 06:58:37 am »

Ahora es muy claro. Muchas gracias Manco! :sonrisa:
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