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Autor Tema: Necesito ayuda con derivada parcial de segundo orden homogénea  (Leído 406 veces)
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« : 26/06/2017, 08:18:00 pm »

Necesito ayuda con esta:

[texx]\displaystyle\frac{\partial^2u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2u }{\partial y^2} = 0[/texx]

[texx]u(x,y) = F(x)G(y)[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = F''(x)G(y)[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = F(x)G''(y)[/texx]

Reemplazo en la ED:

[texx]F''(x)G(y) + F(x)G''(y) = 0[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{F''(x)}{F(x)} = - \frac{G''(y)}{G(y)} = k[/texx]

No sé cómo integrar los miembros con las funciones, si fuese de primer orden podría integrarlos fácilmente.
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« Respuesta #1 : 26/06/2017, 08:58:54 pm »

Vas bien. Como [texx]\dfrac{F''}{F}[/texx] depende sólo de [texx]x[/texx] y [texx]\dfrac{G''}{G}[/texx] depende sólo de [texx]y[/texx], entonces la [texx]k[/texx] a continuación es constante

    [texx]\dfrac{F''}{F}=-\dfrac{G''}{G}=k[/texx]

obteniendo las dos EDOS lineales de segundo orden homogéneas

    [texx]F''-kF=0[/texx]

    [texx]G''+kG=0[/texx]

las cuales seguro sabes calcular. Nota que tienes dos opciones: [texx]k>0[/texx] o [texx]k<0[/texx].

Si tuvieras condiciones de borde el problema sería del tipo Sturm Liouville. Revisa el pdf en ese link, seguro te servirá.
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« Respuesta #2 : 26/06/2017, 10:02:11 pm »

las cuales seguro sabes calcular.
Ese justamente es mi problema, no se solucionarla.
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« Respuesta #3 : 26/06/2017, 11:27:31 pm »

Vas bien. Como [texx]\dfrac{F''}{F}[/texx] depende sólo de [texx]x[/texx] y [texx]\dfrac{G''}{G}[/texx] depende sólo de [texx]y[/texx], entonces la [texx]k[/texx] a continuación es constante

    [texx]\dfrac{F''}{F}=-\dfrac{G''}{G}=k[/texx]

obteniendo las dos EDOS lineales de segundo orden homogéneas

    [texx]F''-kF=0[/texx]

    [texx]G''+kG=0[/texx]

Si [texx]k>0[/texx], entonces

    [texx]F(x)=e^{\sqrt{k}x}[/texx]

y

    [texx]G(y)=e^{i\sqrt{k}y}=\cos(\sqrt{k}y)+i\sin(\sqrt{k}y)[/texx]

por lo que

    [texx]u(x,y)=e^{\sqrt{k}x}\left[\cos(\sqrt{k}y)+i\sin(\sqrt{k}y)\right][/texx]

Sugerencia: en este contexto a menudo te encontrarás con EDO lineales, así que es buena idea que tomes un libro y las recuerdes.
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