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Autor Tema: Duda sobre analiticidad  (Leído 97 veces)
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samuelpq
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« : 18/06/2017, 11:50:49 am »

Buenas tardes:
¿Me podrían explicar por qué la función [texx] log(z)= log(r) + ia , 0<a<2\pi [/texx]  es analítica en todo el plono menos en el semieje real positivo ? Es decir, yo aplico las ecuaciones de Cauchy Riemman en forma polar pero no encuentro la restricción que me diga que el semieje real no negativo no es analítico.
Muchas gracias y un saludo.
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ilarrosa
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« Respuesta #1 : 18/06/2017, 04:30:27 pm »

Buenas tardes:
¿Me podrían explicar por qué la función [texx] log(z)= log(r) + ia , 0<a<2\pi [/texx]  es analítica en todo el plono menos en el semieje real positivo ? Es decir, yo aplico las ecuaciones de Cauchy Riemman en forma polar pero no encuentro la restricción que me diga que el semieje real no negativo no es analítico.
Muchas gracias y un saludo.

El problema no es que se cumplan las condiciones de Cauchy, sino en que estas son necesarias pero no suficientes. Se requiere además que la función y sus derivadas parciales sean continuas. Y tal y como has definido [texx]\log z[/texx], su argumento presenta una discontinuidad de salto [texx]2\pi[/texx] en cualquier parte del semieje real positivo. Normalmente el corte se suele situar en el semieje real negativo, pero el problema es el mismo. Al ser [texx]\arg z[/texx] una función multivaluada, si [texx]a = \arg z[/texx] también lo es [texx]a + 2k\pi, \;\forall{}k\in{}\mathbb{Z}[/texx],  no hay forma de rodear el origen, sin pasar por él, de manera que el argumento cambie de forma continua y acabe valiendo lo mismo al completar la vuelta, se va a diferenciar en [texx]2\pi[/texx]. Por ello la función solo puede ser analítica en una región de la que se excluya un corte que vaya de [texx]0\textrm{ a }\infty[/texx].

Si quieres profundizar más en el tema busca 'Superficie de Riemann'. En esencia se trata de definir el logaritmo en lugar de en [texx]\mathbb{C}[/texx], en múltiples copias de [texx]\mathbb{C}[/texx] ("ramas"), una para [texx]k\in{}\mathbb{Z}[/texx], unidas una con la siguiente por el corte realizado en ellas, de manera que resulta algo así como una superficie helicoidal, y en las que no se incluye 0 en ningún caso. En su superficie de Riemann, la función [texx]\log z[/texx] si que es analítica.

Saludos,

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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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