Foros de matemática
22/08/2017, 08:06:08 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Limite doble  (Leído 239 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
MBruno
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 3


Ver Perfil
« : 17/06/2017, 08:41:49 pm »

Buenas noches, este es mi primer mensaje en este foro  :sonrisa: espero que me puedan ayudar con unas dudas:

Bien, estoy tratando de probar que los siguientes limites existen y valen 0, de muchos que he resuelto me han salido por teorema de sandwich, pero en estos la verdad estoy muy trabado, alguien me dice por donde puedo empezar? no consigo encontrar las cotas superior

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{2(y-1)^2 + x^2}{x^2+(y-1)^2+1}}[/texx]

y

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{(x-1)^2 + y^2}{(x-1)^2+y^2+2}}[/texx]

Gracias
En línea
ilarrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.088


Ver Perfil WWW
« Respuesta #1 : 17/06/2017, 08:55:36 pm »

Buenas noches, este es mi primer mensaje en este foro  :sonrisa: espero que me puedan ayudar con unas dudas:

Bien, estoy tratando de probar que los siguientes limites existen y valen 0, de muchos que he resuelto me han salido por teorema de sandwich, pero en estos la verdad estoy muy trabado, alguien me dice por donde puedo empezar? no consigo encontrar las cotas superior

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{2(y-1)^2 + x^2}{x^2+(y-1)^2+1}}[/texx]

Podemos hacer y' = y - 1, para que nos quede

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y') \to{(0,0)}}{\displaystyle\frac{2y'^2 + x^2}{x^2+y'^2+1}}[/texx]

Pasándolo ahora a polares

[texx]x = r\cdot{}\cos\theta, \;y = r\cdot{}\sen\theta[/texx]

Nos queda,

[texx]\displaystyle\lim_{r \to{0}}{\displaystyle\frac{r^2}{r^2+1}\cdot{}(2\sen^2\theta + \cos^2\theta)} = 0[/texx]

Pues el primer factor tiende a [texx]0[/texx] y el segundo está acotado.


y

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{(x-1)^2 + y^2}{(x-1)^2+y^2+2}}[/texx]


Este es completamente similar,

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
MBruno
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 3


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 17/06/2017, 09:48:34 pm »

Que facil que se ve asi  Aplauso

Osea que la conclusion seria que como [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{0=0}[/texx]     y    [texx]\displaystyle\lim_{r \to{0}}{\displaystyle\frac{r^2}{r^2+1}\cdot{}(2\sen^2\theta + \cos^2\theta)} = 0[/texx]


entonces [texx] 0\leq{} \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{2(y-1)^2 + x^2}{x^2+(y-1)^2+1}} \leq{} 0 [/texx] este limite vale 0 por el Teorema de la compresion

Esta bien? Y otra cosa, no sabia que se podia hacer y' = y - 1, eso lleva alguna justificacion o simplemente se puede hacer?

Gracias, me has sido de mucha ayuda!
En línea
ilarrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.088


Ver Perfil WWW
« Respuesta #3 : 18/06/2017, 06:55:41 am »

Que facil que se ve así  Aplauso

O sea que la conclusión sería que como [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{0=0}[/texx]     y    [texx]\displaystyle\lim_{r \to{0}}{\displaystyle\frac{r^2}{r^2+1}\cdot{}(2\sen^2\theta + \cos^2\theta)} = 0[/texx]

entonces [texx] 0\leq{} \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{2(y-1)^2 + x^2}{x^2+(y-1)^2+1}} \leq{} 0 [/texx] este límite vale 0 por el Teorema de la compresión

¿Estábien?

No exactamente, los límites:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}{\displaystyle\frac{2(y-1)^2 + x^2}{x^2+(y-1)^2+1}}= \displaystyle\lim_{(x,y') \to{(0,0)}}{\displaystyle\frac{2y'^2 + x^2}{x^2+y'^2+1}} = \displaystyle\lim_{r \to{0}}{\displaystyle\frac{r^2}{r^2+1}\cdot{}(2\sen^2\theta + \cos^2\theta)}[/texx]

son exactamente iguales, valgan lo que valgan, ya sea [texx]0, 7\textrm{ o }\infty \ldots[/texx]

El último podemos asegurar que es cero porque es el producto de dos factores, uno de los cuales tiende a cero mientras que el otro permanece acotato. Si quieres mencionar expresamente el teorema de la compresión, o del 'sandwich', puedes notar que

[texx]0 \leq{} 2\sen^2\theta + \cos^2\theta = \sen^2\theta + 1 \leq{} 2[/texx]

(o incluso directamente que es [texx]\leq{}3[/texx]) y poner

[texx]0 \leq{}\displaystyle\frac{r^2}{r^2+1}\cdot{}(2\sen^2\theta + \cos^2\theta) \leq{} \displaystyle\frac{2r^2}{r^2+1}[/texx]

Y como el primer término y el último de esa cadena de desigualdades tienden a cero, el intermedio también. Pero realmente no es necesario. El hecho de que el límite de 'cero' por 'acotado' es cero es claro y bien conocido, incluso puede que tenga un nombre.

Y otra cosa, no sabia que se podía hacer y' = y - 1, ¿eso lleva alguna justificación o simplemente se puede hacer?

Siempre puedes hacer un cambio de variable, ya sea para resolver un límite, una integral o una ecuación. En todo caso hay que tener cuidado con la biyectividad en el intervalo que nos interese, pero al tratarse de un cambio lineal no hay ningún problema.

Una cosa que siempre debe cuidarse es la ortografía. Te corregí unas cuantas cosas en rojo en el texto que cito; puede que falten algunas y que incluso haya otras en mi texto, pero se trata de limitarlas en lo posible  .

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
MBruno
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 3


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 18/06/2017, 05:34:18 pm »

Muchas gracias ilarrosa, me sirvió mucho tu ayuda, y voy a tener en cuenta lo de las faltas  Que tengas buen día!  :sonrisa:
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!