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Autor Tema: Area de una curva y una recta con pendiente expresada como intervalo  (Leído 294 veces)
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NatsuFT
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« : 17/06/2017, 01:40:34 am »

Hola!
Primero quería aclarar que soy nuevo en el foro, así que discúlpenme si estoy poniendo mal el tema o si estoy en la categoría equivocada.

La razón que me uní al foro es porque estoy ante un problema que no puedo resolver de ninguna forma y los que conozco tampoco pueden (eso no significa que sea difícil el problema sino que a nosotros nos falta conocimiento seguramente) así que espero que me puedan ayudar.

El problema dice así:

Llamemos C a la curva [texx]y=x^2-4\left |{x-1}\right |[/texx] y P al punto[texx](1;1)[/texx]

Llamemos L a una recta que pasa por el punto P y supongamos que la pendiente [texx]m[/texx] de L satisface [texx]2\leq{m}\leq{6}[/texx]. Expresar en función de [texx]m[/texx] el área [texx]S[/texx] de la región formada por C y L.

No se que hacer con que la pendiente este expresada como un intervalo.

Si alguien pudiera ayudarme estaría más que agradecido.

Muchas gracias desde ya.
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 17/06/2017, 02:52:08 am »

Hola

A ver

La curva es
[texx]y=\begin{cases} x^2+4x-4 & \text{si}& x\leq 1\\x^2-4x+4 & \text{si}& x>1\end{cases}[/texx]

(corregido un signo en la primera línea)

La recta L
[texx]y_l=mx-m+1[/texx]

Viendo la gráfica (la región es como un par de hojas ¿verdad?) hay dos integrales a resolver,

Creo son

[texx]Área=\displaystyle\int_{-5+m}^{1}\left((mx-m+1)-(x^2+4x-4)\right)dx+\displaystyle\int_{1}^{3+m}\left((mx-m+1)-(x^2-4x+4)\right)dx[/texx]

Revisa que ya tengo sueño y puedo errar...

Saludos

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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 17/06/2017, 06:42:34 am »

Llamemos C a la curva [texx]y=x^2-4\left |{x-1}\right |[/texx] y P al punto[texx](1;1)[/texx]

Llamemos L a una recta que pasa por el punto P y supongamos que la pendiente [texx]m[/texx] de L satisface [texx]2\leq{m}\leq{6}[/texx]. Expresar en función de [texx]m[/texx] el área [texx]S[/texx] de la región formada por C y L.

No se que hacer con que la pendiente este expresada como un intervalo.

Lo que te piden es que calcules el área limitada por curva y recta para cualquier [texx]m[/texx] de ese intervalo. Es decir, que la dejes en función de [texx]m[/texx]. Por cierto, ¿no será [texx]-2\leq{}m\leq{}6[/texx]?

No me resisto a adornar la excelente respuesta de ingmarov con un gráfico interactivo:




Saludos,

* Integral_Area_parametro.ggb (27.05 KB - descargado 31 veces.)
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« Respuesta #3 : 17/06/2017, 06:38:06 pm »

Sublime repuesta la de ambos, millones de gracias!

Lo que no me queda claro es como averiguaron los limites de integración en función de [texx]m[/texx]
Lo unico que se me ocurre es buscar los puntos de corte de cada la recta [texx]y=-2x+3[/texx] y [texx]y=6x-5[/texx] con la curva.

[texx]-2x+3=x^2+4x-4[/texx]
[texx]x^2+6x-7=0[/texx]
[texx]x=-7; x=1[/texx]

Lo mismo con la otra recta y la otra parte de la curva me da los puntos de corte en [texx]x=9; x=1[/texx]

Lo único que puedo imaginar de como los escribieron en función de [texx]m[/texx] es que al ser m [texx]-2\leq{m}\leq{6}[/texx] entonces cuando

[texx]m=-2[/texx]
[texx]m-5=-7[/texx](que era el punto de corte)

y cuando [texx]m=6 [/texx]
[texx]m+3=9[/texx] (que era el otro punto de corte)

Es esta la forma de averiguar estos valores en funcion de [texx]m[/texx] o hay algún otro método que no estoy pensando?
Muchas gracias por toda su ayuda!
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 17/06/2017, 08:16:30 pm »

Sublime repuesta la de ambos, millones de gracias!

Lo que no me queda claro es como averiguaron los limites de integración en función de [texx]m[/texx]

Solo tienes que buscar las intersecciones de la recta genérica [texx]y = m(x- 1) + 1[/texx] con las parábolas [texx]y = x^2+4x-4\textrm{ e }y = x^2 - 4x + 4[/texx], con la ventaja que ya sabes que [texx]x = 1, y = 1[/texx] es una solución en ambos casos. Y obtienes sin ningún problema [texx]x = m - 5\textrm{ y }x = m + 3[/texx] respectivamente.

Saludos,
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« Respuesta #5 : 17/06/2017, 08:41:38 pm »


Solo tienes que buscar las intersecciones de la recta genérica [texx]y = m(x- 1) + 1[/texx] con las parábolas [texx]y = x^2+4x-4\textrm{ e }y = x^2 - 4x + 4[/texx], con la ventaja que ya sabes que [texx]x = 1, y = 1[/texx] es una solución en ambos casos. Y obtienes sin ningún problema [texx]x = m - 5\textrm{ y }x = m + 3[/texx] respectivamente.

Saludos,

Ahh, claro cómo no lo pensé. Muchísimas gracias, me quedo mas que claro. Muy amables los dos.

Saludos.

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