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Autor Tema: Probar convergencia de una sucesión en e.t. de base [x,x+a)  (Leído 235 veces)
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Maekvor
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« : 14/06/2017, 06:50:59 pm »

Tengo otra duda con otro ejercicio  de convergencia.
Sé que pregunto mucho sobre esto, pero es lo que peor llevo de topología  :BangHead: y tengo examen en dos semanas y estoy tratando de cogerle el truquillo a la convergencia, pero cuesta :triste:
Bueno, al caso.
Tengo el siguiente espacio topológico [texx](\mathbb{R},T)[/texx]
donde [texx]T=[/texx]{[texx]A\subseteq{\mathbb{R}}[/texx][texx]/\forall{x}\in{A}[/texx] [texx]\exists{\epsilon}>0[/texx] y [texx] [x,x+\epsilon)\subseteq{A}[/texx]} [texx]\cup{}[/texx]{[texx]\emptyset[/texx]}

Vale, entonces me pide que estudie la convergencia a 0 de la sucesión [texx]x_n=\displaystyle\frac{-1}{n}[/texx] para [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] en el espacio topológico [texx](\mathbb{R},T)[/texx]

Entonces, yo comienzo (obviamente xd) con la definicion de convergencia en espacio topológico, i.e.
[texx]\forall{U}\in{T}[/texx] [texx] \exists{n}\in{\mathbb{N}}[/texx] / [texx]  \forall{n}>N[/texx] [texx] x_n\in{U}[/texx]
Entonces a partir de aqui, de manera general como he de proceder? Porque es que en sí nunca se como continuar.
Cuando veo un ejercicio resuelto, como el que me ayudásteis a hacer lo comprendo, pero nunca se arrancar...  :indeciso:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 15/06/2017, 05:10:57 am »

Hola

Tengo otra duda con otro ejercicio  de convergencia.
Sé que pregunto mucho sobre esto, pero es lo que peor llevo de topología  :BangHead: y tengo examen en dos semanas y estoy tratando de cogerle el truquillo a la convergencia, pero cuesta :triste:
Bueno, al caso.
Tengo el siguiente espacio topológico [texx](\mathbb{R},T)[/texx]
donde [texx]T=[/texx]{[texx]A\subseteq{\mathbb{R}}[/texx][texx]/\forall{x}\in{A}[/texx] [texx]\exists{\epsilon}>0[/texx] y [texx] [x,x+\epsilon)\subseteq{A}[/texx]} [texx]\cup{}[/texx]{[texx]\emptyset[/texx]}

Vale, entonces me pide que estudie la convergencia a 0 de la sucesión [texx]x_n=\displaystyle\frac{-1}{n}[/texx] para [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] en el espacio topológico [texx](\mathbb{R},T)[/texx]

Entonces, yo comienzo (obviamente xd) con la definicion de convergencia en espacio topológico, i.e.
[texx]\forall{U}\in{T}[/texx] [texx] \exists{n}\in{\mathbb{N}}[/texx] / [texx]  \forall{n}>N[/texx] [texx] x_n\in{U}[/texx]
Entonces a partir de aqui, de manera general como he de proceder? Porque es que en sí nunca se como continuar.
Cuando veo un ejercicio resuelto, como el que me ayudásteis a hacer lo comprendo, pero nunca se arrancar...  :indeciso:

Tienes que tener en primer lugar claro como son los entornos abiertos de un punto.

En tu caso y con la topología dada un entorno abierto de un punto [texx]x_0[/texx] es un abierto [texx]A[/texx] con [texx]x_0\in A[/texx]. Por ser A abierto según la definición que te han dado tiene que cumplirse que existe [texx]\epsilon>0[/texx] tal que [texx][x_0,x_0+\epsilon)\subset A[/texx].

Fíjate que en particular esos conjuntos [texx][x_0,x_0+\epsilon)[/texx] son entornos abiertos de [texx]x_0[/texx].

Entonces para analizar si una sucesión [texx]\{x_n \}[/texx] converge a [texx]x_0[/texx] tienes que ver si para cualquier entorno [texx][x_0,x_0+\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos los elemento [texx]x_n[/texx] con [texx]n>n_0 [/texx]van a estar en ese entorno.

En tu caso particular si para todo entorno [texx][0,\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos elementos [texx]-1/n[/texx] están en [texx][0,\epsilon)[/texx].

Ahora la respuesta debería de ser clara para ti.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 15/06/2017, 02:19:04 pm »

Hola

Tienes que tener en primer lugar claro como son los entornos abiertos de un punto.

En tu caso y con la topología dada un entorno abierto de un punto [texx]x_0[/texx] es un abierto [texx]A[/texx] con [texx]x_0\in A[/texx]. Por ser A abierto según la definición que te han dado tiene que cumplirse que existe [texx]\epsilon>0[/texx] tal que [texx][x_0,x_0+\epsilon)\subset A[/texx].

Fíjate que en particular esos conjuntos [texx][x_0,x_0+\epsilon)[/texx] son entornos abiertos de [texx]x_0[/texx].

Entonces para analizar si una sucesión [texx]\{x_n \}[/texx] converge a [texx]x_0[/texx] tienes que ver si para cualquier entorno [texx][x_0,x_0+\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos los elemento [texx]x_n[/texx] con [texx]n>n_0 [/texx]van a estar en ese entorno.

En tu caso particular si para todo entorno [texx][0,\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos elementos [texx]-1/n[/texx] están en [texx][0,\epsilon)[/texx].

Ahora la respuesta debería de ser clara para ti.

Saludos.

De acuerdo, creo que entendí la forma de proceder, aunque como todo supongo que lleva práctica.
En respuesta a lo que me planteas: ¿todo entorno [texx][0,\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos elementos [texx]-1/n[/texx] están en [texx][0,\epsilon)[/texx] ?
Creo que no. O sea, de manera visual veo que la sucesión se aproxima por la izquierda a 0, pero el intervalo es cerrado en 0 luego [texx]x_n[/texx] nunca va a entrar a ese intervalo... Es decir, [texx]x_n[/texx] no converge a 0
No se muy bien cómo expresarlo de manera "topológica"  Pero, ¿es así?
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« Respuesta #3 : 16/06/2017, 05:07:32 am »

Hola

De acuerdo, creo que entendí la forma de proceder, aunque como todo supongo que lleva práctica.
En respuesta a lo que me planteas: ¿todo entorno [texx][0,\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos elementos [texx]-1/n[/texx] están en [texx][0,\epsilon)[/texx] ?
Creo que no. O sea, de manera visual veo que la sucesión se aproxima por la izquierda a 0, pero el intervalo es cerrado en 0 luego [texx]x_n[/texx] nunca va a entrar a ese intervalo... Es decir, [texx]x_n[/texx] no converge a 0
No se muy bien cómo expresarlo de manera "topológica"  Pero, ¿es así?

Si; esa es la idea.

Justificarlo rigurosamente es muy sencillo. En primer lugar ten en cuenta que has concluido (informalmente) que la sucesión NO converge a [texx]0[/texx]; en ese caso para demostrarlo, basta dar un entorno concreto en el cuál no estén todos los términos de la sucesión a partir de uno:

Entonces [texx][0,1)[/texx] es un entorno del [texx]0[/texx], y para cualquier [texx]n\in \mathbb{N}[/texx], [texx]x_n=-1/n\not\in [0,1)[/texx]. Por tanto no se cumple la definición de convergencia a cero.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 16/06/2017, 11:50:04 am »

Hola

De acuerdo, creo que entendí la forma de proceder, aunque como todo supongo que lleva práctica.
En respuesta a lo que me planteas: ¿todo entorno [texx][0,\epsilon)[/texx] a partir de un cierto [texx]n_0[/texx] todos elementos [texx]-1/n[/texx] están en [texx][0,\epsilon)[/texx] ?
Creo que no. O sea, de manera visual veo que la sucesión se aproxima por la izquierda a 0, pero el intervalo es cerrado en 0 luego [texx]x_n[/texx] nunca va a entrar a ese intervalo... Es decir, [texx]x_n[/texx] no converge a 0
No se muy bien cómo expresarlo de manera "topológica"  Pero, ¿es así?



Si; esa es la idea.

Justificarlo rigurosamente es muy sencillo. En primer lugar ten en cuenta que has concluido (informalmente) que la sucesión NO converge a [texx]0[/texx]; en ese caso para demostrarlo, basta dar un entorno concreto en el cuál no estén todos los términos de la sucesión a partir de uno:

Entonces [texx][0,1)[/texx] es un entorno del [texx]0[/texx], y para cualquier [texx]n\in \mathbb{N}[/texx], [texx]x_n=-1/n\not\in [0,1)[/texx]. Por tanto no se cumple la definición de convergencia a cero.

Saludos.

Ah vale. Muchas gracias
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