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Autor Tema: Coprimizar ecuación en Teorema Chino del Resto  (Leído 385 veces)
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mathspirit
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« : 11/06/2017, 11:25:02 pm »

1) Hola! Tengo que resolver este sistema de ecuaciones de congruencia:

[texx]a \equiv{1} (mod 12)[/texx]
[texx]a \equiv{7} (mod 10)[/texx]
[texx]a \equiv{4} (mod 9)[/texx]

En principio no parece un sistema incompatible ya que ningún número divide a otro. Sin embargo, no son coprimos dos a dos como pide le teorema chino del resto. En particular, 12 no es coprimo con 10 ni con 9.

¿Cómo se coprimiza antes de resolver el ejercicio?
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mathspirit
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« Respuesta #1 : 11/06/2017, 11:44:04 pm »

2) Y otra pregunta, ya que estoy... relacionada al TCR. Este sistema:

[texx]3a\equiv{4} (mod5)[/texx]
[texx]5a\equiv{4} (mod6)[/texx]
[texx]6a\equiv{2} (mod7)[/texx]

No puede usarse el TCR porque tiene números multiplicando a la variable a. Lo que calculo que se hace es primero resolver una por una las ecuaciones de congruencia, por ejemplo, la primera:

[texx]3a\equiv{4} (mod5)[/texx]

Es equivalente (si hice bien las cuentas) a:

[texx]a\equiv{3} (mod5)[/texx]

Lo hice resolviendo la ecuación diofántica:

[texx]3 X + 5 Y = 4[/texx]
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feriva
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« Respuesta #2 : 12/06/2017, 04:30:58 am »

Hola.

[texx]\dfrac{3a-4}{5}+\dfrac{5a-4}{6}+\dfrac{6a-2}{7}=b
 [/texx] donde “b” es un entero

[texx]\dfrac{(3a-4)42+(51a-4)35+(6a-2)30}{210}=b
 [/texx]

[texx](3a-4)42+(51a-4)35+(6a-2)30=210b\Rightarrow
 [/texx]

De ahí, despejando “a”, te sale una sola ecuación diofántica con “a” y “b”; pero ésta no es la forma habitual del teorema chino, se va haciendo hallando los inversos modulares para cada caso.

En cuanto a la primera pregunta, que no la había visto; ten en cuenta que 10 se descompones sólo en el producto de dos primos 2*5 y que el 2 es común con doce, así que lo puedes simplificar.
Ah, y el 3 del 12 también lo puedes quitar, porque es factor común con 9.Es decir, te quedan módulos: en vez de 12, cuatro, en vez de 10, cinco; y el nueve se queda igual.

Para que ya sea claro del todo; es decir, a partir de las congruencias tienes que

[texx]a-1
 [/texx] dividido entre 12 es un entero; por la definición de congruencia.

[texx]a-7
 [/texx] dividido entre 10 es un entero

[texx]a-4
 [/texx] dividido entre 9 es un entero

Luega esta suma será un entero

[texx]\dfrac{a-1}{12}+\dfrac{a-7}{10}+\dfrac{a-4}{9}
 [/texx]

El mínimo común múltiplo ¿qué factores tiene?, pues dos al cuadrado, tres al cuadrado y cinco, ésos son los módulos coprimos.

 


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Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 12/06/2017, 07:00:53 am »

Hola

1) Hola! Tengo que resolver este sistema de ecuaciones de congruencia:

[texx]a \equiv{1} (mod 12)[/texx]
[texx]a \equiv{7} (mod 10)[/texx]
[texx]a \equiv{4} (mod 9)[/texx]

En principio no parece un sistema incompatible ya que ningún número divide a otro. Sin embargo, no son coprimos dos a dos como pide le teorema chino del resto. En particular, 12 no es coprimo con 10 ni con 9.

¿Cómo se coprimiza antes de resolver el ejercicio?

La condición [texx]a \equiv{1} (mod 12)[/texx] equivale a [texx]a \equiv{1} (mod 3)[/texx] y [texx]a \equiv{1} (mod 4)[/texx].
La condición [texx]a \equiv{7} (mod 10)[/texx] equivale a [texx]a \equiv{7}\equiv 1 (mod 2)[/texx] y [texx]a \equiv{7}\equiv 2 (mod 5)[/texx].

La condición [texx]a \equiv{1} (mod 4)[/texx] implica [texx]a \equiv{1} (mod 2)[/texx] y [texx]a \equiv{4} (mod 9)[/texx] implica  [texx]a \equiv{1} (mod 3)[/texx].

Por tanto tu sistema equivale a:

 [texx]a \equiv{1} (mod 4)[/texx]
 [texx]a \equiv{2} (mod 5)[/texx]
 [texx]a \equiv{4} (mod 9)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 17/06/2017, 07:01:18 pm »

Hola, muchas gracias! Creo que pude resolver ambos ejercicios.

El primero me da:

[texx]a \equiv{157} (mod 180)[/texx]

Y el segundo:

[texx]a\equiv{68} (mod 210)[/texx]
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