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Autor Tema: Lado equilátero en función de distancia de punto interior a vértices  (Leído 640 veces)
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« : 11/06/2017, 03:08:45 am »

hola

Trabajando en éste problema en donde me piden hallar "x"
que corresponde a c/u de los lados  del triángulo
lo resolvi por Herón , calculado las áreas parciales e igualandolas
al área total me da como resultado x=

Pero de la forma anterior es muy laborioso
algún atajo.


* TRIX.png (11 KB - descargado 120 veces.)
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 23/06/2017, 04:41:17 pm »

No había visto tu mensaje hasta ahora. En este applet puedes ver una solución cuando las distancias a los vértices son pitagóricas, como en este caso:



Saludos,
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« Respuesta #2 : 23/06/2017, 04:52:31 pm »

Y para el caso general, aquí hay otro applet con la construcción y una curiosa fórmula simétrica:




Continuar después del paso 13.

Adjunto un fichero en el que se demuestra la fórmula y se hace un pequeño estudio de las soluciones enteras.

Saludos,

* DistTriEqui.pdf (151.44 KB - descargado 34 veces.)
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« Respuesta #3 : 24/06/2017, 09:36:16 pm »




Nota: El triángulo [texx]BD'A[/texx] se obtiene girando el triángulo [texx]BDC\; 60^\circ{}[/texx] en sentido positivo en torno al vértice [texx]B[/texx].

Saludos,
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« Respuesta #4 : 24/06/2017, 10:52:08 pm »

Aún analizando   tú  solución a este bello problema.
Gracias por el tiempo invertido
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Abdulai
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« Respuesta #5 : 24/06/2017, 11:47:21 pm »

...
lo resolvi por Herón , calculado las áreas parciales e igualandolas
al área total me da como resultado x=

Pero de la forma anterior es muy laborioso
algún atajo.

Una alternativa elegante con la complicación de calcular un determinante es usando la Fórmula de Tartaglia para el volumen del tetraedro.

Escribiendo el determinante de acuerdo al link e igualando a 0, pues es una figura plana:

[texx]\begin{vmatrix} 0 & 3^2 & 4^2 & 5^2 & 1 \\ 3^2 & 0 & x^2 & x^2 & 1 \\ 4^2 & x^2 & 0 & x^2 & 1 \\ 5^2 & x^2 & x^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0  \end{vmatrix} = \underbrace{-2x^2\left(x^4-50x^2+193\right)}_{\text{via software :-)}}  = 0 [/texx]

y sus raíces positivas son 
[texx]x_1 = \displaystyle\sqrt{25 - 12\sqrt{3}} \approx 2.053141570[/texx]
[texx]x_2 = \displaystyle\sqrt{25 + 12\sqrt{3}} \approx 6.766432567[/texx]
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« Respuesta #6 : 25/06/2017, 12:21:53 am »

Hola Abdulai , gracias por contestar, no entendí tú respuesta, podrias clarificar.
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Abdulai
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« Respuesta #7 : 25/06/2017, 01:09:20 am »

Los 4 puntos OABC pueden pensarse como los vértices de un tetraedro "plano", luego su volumen será cero.  Aplico entonces la fórmula de Tartaglia que me da el volumen de un tetraedro en función de los lados --> Igualando a cero el determinante obtengo la relación entre ellos.
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