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Autor Tema: Pregunta sobre la clasificación de superficies compactas  (Leído 212 veces)
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« : 10/06/2017, 07:55:38 am »

Hola a todos. Tengo una duda sobre el proceso de clasificar una superficie compacta. Por ejemplo si me piden clasificar [texx]aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1}[/texx] lo que me han enseñado es que primero observamos que la superficie no es orientable porque contiene palabras de primera especie ([texx]dd[/texx] y [texx]ff[/texx]) y luego calculamos la característica Euler, que será 1-#letras+#vértices. En nuestro caso sale [texx]1-6+1=-4[/texx] (los vértices los contamos haciendo las identificaciones) y por tanto tenemos que la superficie es homeomorfa a [texx](2-(-4))\mathbb{P}=6\mathbb{P}[/texx].
Mi pregunta trata sobre una pequeña modificación del método anterior. Una vez sabemos que la superficie es no orientable, la única posibilidad es que sea homeomorfa a [texx]m\mathbb{P}[/texx], por lo que la palabra que la define será de la forma [texx]a_1a_1a_2a_2...a_ma_m[/texx]. Es decir, si yo cojo la palabra del enunciado [texx]aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1}[/texx] y agrupo las letras de dos en dos, puedo saber que [texx]m=6[/texx] y decir que la superficie es homeomorfa a [texx]6\mathbb{P}[/texx] sin tener que calcular la característica de Euler. Dicho esto mi pregunta es ¿porqué se suele usar el primer método si en el segundo no necesitamos la característica de Euler y por tanto es más rápido? ¿o son esencialmente el mismo método visto de dos formas aparentemente distintas? Gracias por adelantado.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/06/2017, 06:57:47 am »

Hola

Hola a todos. Tengo una duda sobre el proceso de clasificar una superficie compacta. Por ejemplo si me piden clasificar [texx]aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1}[/texx] lo que me han enseñado es que primero observamos que la superficie no es orientable porque contiene palabras de primera especie ([texx]dd[/texx] y [texx]ff[/texx]) y luego calculamos la característica Euler, que será 1-#letras+#vértices. En nuestro caso sale [texx]1-6+1=-4[/texx] (los vértices los contamos haciendo las identificaciones) y por tanto tenemos que la superficie es homeomorfa a [texx](2-(-4))\mathbb{P}=6\mathbb{P}[/texx].
Mi pregunta trata sobre una pequeña modificación del método anterior. Una vez sabemos que la superficie es no orientable, la única posibilidad es que sea homeomorfa a [texx]m\mathbb{P}[/texx], por lo que la palabra que la define será de la forma [texx]a_1a_1a_2a_2...a_ma_m[/texx]. Es decir, si yo cojo la palabra del enunciado [texx]aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1}[/texx] y agrupo las letras de dos en dos, puedo saber que [texx]m=6[/texx] y decir que la superficie es homeomorfa a [texx]6\mathbb{P}[/texx] sin tener que calcular la característica de Euler. Dicho esto mi pregunta es ¿porqué se suele usar el primer método si en el segundo no necesitamos la característica de Euler y por tanto es más rápido? ¿o son esencialmente el mismo método visto de dos formas aparentemente distintas? Gracias por adelantado.

Es que esencialmente lo mismo. Con ese tipo de representación la superficie siempre tiene un vértices, es decir, la única variable en la fórmula de Euler son el número de caras correspondiente a las letras distintas que aparecen en la frontera.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 11/06/2017, 07:09:20 am »

Hola

Hola a todos. Tengo una duda sobre el proceso de clasificar una superficie compacta. Por ejemplo si me piden clasificar [texx]aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1}[/texx] lo que me han enseñado es que primero observamos que la superficie no es orientable porque contiene palabras de primera especie ([texx]dd[/texx] y [texx]ff[/texx]) y luego calculamos la característica Euler, que será 1-#letras+#vértices. En nuestro caso sale [texx]1-6+1=-4[/texx] (los vértices los contamos haciendo las identificaciones) y por tanto tenemos que la superficie es homeomorfa a [texx](2-(-4))\mathbb{P}=6\mathbb{P}[/texx].
Mi pregunta trata sobre una pequeña modificación del método anterior. Una vez sabemos que la superficie es no orientable, la única posibilidad es que sea homeomorfa a [texx]m\mathbb{P}[/texx], por lo que la palabra que la define será de la forma [texx]a_1a_1a_2a_2...a_ma_m[/texx]. Es decir, si yo cojo la palabra del enunciado [texx]aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1}[/texx] y agrupo las letras de dos en dos, puedo saber que [texx]m=6[/texx] y decir que la superficie es homeomorfa a [texx]6\mathbb{P}[/texx] sin tener que calcular la característica de Euler. Dicho esto mi pregunta es ¿porqué se suele usar el primer método si en el segundo no necesitamos la característica de Euler y por tanto es más rápido? ¿o son esencialmente el mismo método visto de dos formas aparentemente distintas? Gracias por adelantado.

Es que esencialmente lo mismo. Con ese tipo de representación la superficie siempre tiene un vértices, es decir, la única variable en la fórmula de Euler son el número de caras correspondiente a las letras distintas que aparecen en la frontera.

Saludos.
Entonces si no voy errado cuando la superfície tiene más de un vértice el segundo método que planteé no funciona, ¿no?
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« Respuesta #3 : 11/06/2017, 07:36:28 am »

Hola

Entonces si no voy errado cuando la superfície tiene más de un vértice el segundo método que planteé no funciona, ¿no?

Exacto. Aunque si la representación es la estandar, nunca va a tener más de un vértice.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 11/06/2017, 07:40:36 am »

Vale, entonces lo tengo todo entendido, gracias el_manco.
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